Tamaño de la muestra para saber si más del X% de la población puede hacer <cosa>

Question

Quiero realizar una prueba para determinar (con un 95% de confianza) si al menos el 70% de una población puede realizar alguna tarea.

La prueba consiste en sentar a una persona elegida al azar y que intente realizar una tarea, que puede superar o no. De forma equivalente, lanzo una moneda ponderada.

Las pruebas son caras, por lo que sólo realizaremos una docena de ellas.

El problema consiste en calcular pares de (tamaño de la muestra, número de pases) que den la significación requerida.

Quiero ser capaz de decir algo de la forma

"Pregunte a 10 personas. Si 8 o más pasan, se puede decir con un 95 de confianza que la proporción real en la población es superior al 70%"

Answer 1

Si los sujetos son representativos de la población e independientes entre sí, se trata simplemente de la prueba binomial. Usted puede obtener la información de su declaración con sólo hacer las pruebas con diferentes entradas, aquí es un ejemplo usando R:

> binom.test(8,10, alt='g', p=0.7)

        Exact binomial test

data:  8 and 10 
number of successes = 8, number of trials = 10, p-value = 0.3828
alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.7 
95 percent confidence interval:
 0.4930987 1.0000000 
sample estimates:
probability of success 
                   0.8 

Así, 8 de cada 10 sólo da un límite inferior del 49% en el intervalo de confianza del 95%.

Sin embargo, hay que ir más allá de estas simples afirmaciones. Con 10 sujetos necesitarías 10 de cada 10 aciertos para decir (con un 95% de confianza) que al menos el 70% puede realizar la tarea. Pero, ¿cuál es la probabilidad de ver 10 de cada 10? eso depende de la proporción real y realmente debería hacer un análisis de "qué pasa si" con diferentes proporciones "reales" para ver la probabilidad de ver el éxito.

Si está tan limitado en cuanto al número de pruebas que puede hacer, entonces es posible que quiera ver si hay alguna otra información disponible como una estimación que podría ser utilizada como una prioridad en un análisis bayesiano.

Answer 2

Sí, puede hacerlo construyendo límites de confianza binomiales exactos para una sola proporción o límites de tolerancia de equivalencia en la proporción si toma n fijo. Si permites que n sea la primera vez que puedes llegar a la conclusión estás en el ámbito del análisis secuencial.