Cardinalidad de un subconjunto actuado por el Grupo Alternante, $A_n$

Question

Supongamos que $X \subset \{1,2,3,\ldots,n\}$ . Demuestre que la cardinalidad de $X$ es $0$ , $1$ o $n$ , si $\forall$$ b \Nen A_n $, $ X \cap bX = \emptyset $ or $ X = bX$.

Me queda bastante claro cómo la cardinalidad puede ser 0 o 1. Pero ¿cómo puedo demostrar que si no es 0 o 1, entonces debe ser $n$ ?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Si $1 < |X| < n$ Hay $i,j \in X$ , $i \ne j$ y $k \in \{1,\ldots, n\} \setminus X$ . ¿Puede dar un $b \in A_n$ con $bX \cap X \ne \emptyset$ y $X \ne bX$ con sólo intercambiar $i$ , $j$ y $k$ ?

Answer 2

El resultado se ve fácilmente que es falso como se ha dicho. Sospecho que el resultado correcto es este:

Dejemos que $X\subseteq\{1,\dots,n\}$ y supongamos que para cada $b\in A_n$ o bien $bX=X$ o $bX\cap X=\varnothing$ Entonces $|X|$ es $0,1$ o $n$ .

Para demostrarlo, dejemos que $X\subseteq\{1,\dots,n\}$ sea tal que para cada $b\in A_n$ o bien $bX=X$ o $bX\cap X=\varnothing$ y supongamos además que $1<|X|<n$ . Sea $r,s\in X$ con $r\ne s$ , dejemos que $k\in\{1,\dots,n\}\setminus X$ y que $b$ sea la permutación $(rsk)=(rk)(rs)\in A_n$ para obtener una contradicción.