Mostrar que $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4}$ no es un grupo cíclico

Question

Mostrar que $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4}$ no es un grupo cíclico. Esta pregunta es de el libro De Álgebra Abstracta' por Pinter. Ahora $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4}$ contener 8 elementos. Me encontré con ellos para ser como sigue: $$(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3)$$ Ahora si $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4}$ eran cíclicos, uno de estos elementos debe ser un generador de todo el grupo. Sin embargo, para cada elemento de los mencionados encontramos que se repite en las repeticiones del grupo de operación se obtiene el elemento de identidad ya antes de tener que aplicar el grupo de operación de ocho veces. Por lo tanto, el uso de cualquiera de estos elementos como un único elemento, el resultado sería en un subgrupo de orden menor que 8, en este caso sería de orden 4, de la orden de 2 o orden de 1. Por lo tanto, el grupo no es cíclico. Ahora estoy bastante seguro de que este constituye una correcta prueba, pero me pregunto si una forma más elegante existen para mostrar este resultado. Esto podría ser especialmente útil en la investigación de preguntas similares para los grupos más grandes. Gracias de antemano

P. S. he estado publicando más preguntas de este libro, porque me parece muy interesante, pero estoy leyendo por mi cuenta, así que estoy a veces inseguro de si los métodos que uso son de la más elegante y rápida. Hasta el momento he recibido gran ayuda y estoy agradecido a la stackexchange de la comunidad para esto :)

Answer 1

Creo que su enfoque de estudiar el orden de los elementos es la de la derecha. Si usted quiere hacer esto de una manera más sistemática, puede estudiar el orden de los elementos en un producto directo. Es decir, nos dicen que cuentan $G_1, \ldots, G_r$ algunos grupos, algún elemento $g = (g_1, \ldots g_r) \in G_1 \times \ldots \times G_r$ en el producto directo, y queremos saber el orden de $g$ dentro $G_1 \times \ldots \times G_r$. Resulta que si $n_i$ indica el orden de $g_i \in G_i$, luego el orden de $g$$\operatorname{lcm}(n_1,\ldots,n_r)$. En particular, desde la orden de $g_i$ divide $|G_i|$ (el número de elementos del grupo), entonces el orden de $g$ divide $\operatorname{lcm}(|G_1|,\ldots,|G_r|)$.

En tu ejemplo, tome $G_1 = \mathbb{Z}_2$$G_2 = \mathbb{Z}_4$. Sabemos que el orden de cualquier elemento dentro de $G_1 \times G_2$ divide $\operatorname{lcm}(|G_1|,|G_2|) = \operatorname{lcm}(2,4) = 4$. Así que no hay ningún elemento de orden $8$.

Usando el mismo principio, podemos ver que, por ejemplo, $ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$ es cíclico. De hecho, sabemos $(1,1)$ orden $\operatorname{lcm}(2,3)= 6$.

Answer 2

Observar que $2$ $4$ no son relativamente primos. En general, se asume que el $(a,b)$ es un elemento en el grupo $\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n$, y deje $c=\operatorname{lcm}(m,n)$. A continuación,$(a,b)^c=(0,0)$, por lo que el orden de $(a,b)$ es un divisor de a $c$. Pero $c$ es estrictamente menor que el número de elementos de a $mn$ si $m$ $n$ no son relativamente primos, por lo que el grupo no puede ser cíclica.

Answer 3

Un buen teorema de utilizar en la comprobación de que el producto directo de grupos cíclicos es la siguiente:

$$\mathbb Z_m\times \mathbb Z_n \cong \mathbb Z_{(mn)} \; \underbrace{\iff}_{\text{ IF AND ONLY IF }\;} \gcd(m, n) = 1$$

Esto es válido para cualquier número de factores: $\mathbb Z_{n_1} \times \mathbb Z_{n_2} \times \cdots \times \mathbb Z_{n_n} \cong \mathbb Z_{n_1\cdot n_2\cdots n_n}$ si y sólo si el $n_i$ son parejas prime.

Answer 4

La prueba está perfectamente bien, y es probablemente la forma más fácil y directa para mostrar el resultado con un grupo tan pequeño. Para un grupo más grande (decir $\mathbb{Z}/12345\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/48274\mathbb{Z}$, sólo necesita ligeramente adaptar el argumento: no vas a comprobar cada elemento uno por uno en este caso.

Answer 5

El Invariante de la factor de la descomposición de finitely generado abelian grupos directamente te dice que el grupo no es cíclico. A pesar de matar a una mosca con un lanzador de cohetes no pueden ser considerados como "elegante", se da un método para grupos más grandes.