Relación entre el potencial eléctrico y el campo eléctrico

Question

No soy capaz de entender por qué la integración de $\mathbf E$ se hace de dos maneras diferentes para la constante $\mathbf E$ y variando $\mathbf E$ como en el caso del condensador de placas paralelas y del condensador esférico. Más concretamente, ¿por qué obtenemos $\Delta V=Ed$ para el campo constante?

Además, si de alguna manera entiendo la idea de integración descrita anteriormente, no parece funcionar para calcular la energía potencial $U$ para la variación de la fuerza.

Answer 1

En general, la diferencia de potencial eléctrico entre la posición $\mathbf a$ y $\mathbf b$ viene dada por $$\Delta V=V(\mathbf b)-V(\mathbf a)=-\int_{\mathbf a}^{\mathbf b}\mathbf E\cdot\text d\mathbf r$$ donde la integral es una integral de línea que sigue cualquier camino desde $\mathbf a$ a $\mathbf b$ . Esta definición es válida para cualquier campo eléctrico estático, constante o no.

Sin embargo, si el campo es constante a lo largo de la trayectoria de integración, entonces se nos permite tomar la $\mathbf E$ término fuera de la integral: $$\Delta V=V(\mathbf b)-V(\mathbf a)=-\mathbf E\cdot\int_{\mathbf a}^{\mathbf b}\text d\mathbf r$$

Ahora, la integral de línea de $\text d\mathbf r$ es sólo el vector que apunta desde el inicio hasta el final de la trayectoria, es decir $$\int_{\mathbf a}^{\mathbf b}\text d\mathbf r=\mathbf b-\mathbf a$$ Por lo tanto, para un campo eléctrico constante, $$\Delta V=-\mathbf E\cdot(\mathbf b-\mathbf a)$$

Ahora, si sólo te interesa la magnitud de la diferencia de potencial, y si el campo apunta en la misma dirección que el desplazamiento, podemos simplificar a $$|\Delta V|=|\mathbf E|d$$ Donde $d$ es la magnitud de $\mathbf b-\mathbf a$ .

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Esta misma idea es válida también para la energía potencial y las fuerzas eléctricas, porque el potencial y el campo son sólo la energía y la fuerza respectivamente por unidad de carga, es decir $\Delta V=\Delta U/q$ y $\mathbf E=\mathbf F/q$ . Así que si se toma la sección anterior y se divide todo por $q$ entonces usted es bueno para conseguir

$$\Delta V/q=V(\mathbf b)/q-V(\mathbf a/q)=-\int_{\mathbf a}^{\mathbf b}\mathbf E/q\cdot\text d\mathbf r$$

$$\Delta U=U(\mathbf b)-U(\mathbf a)=-\int_{\mathbf a}^{\mathbf b}\mathbf F\cdot\text d\mathbf r$$