Varianza del paseo aleatorio geométrico

Question

Intento calcular la media y la varianza del siguiente paseo aleatorio simple:

Supongamos que empezamos desde 1. Con probabilidad $p$ puede aumentar hasta $a$ y con probabilidad $q =1p$ disminuye a $b$ .

El paseo sigue estos pasos, por lo que en el siguiente paso puede tener tres resultados:

• $a^2$ con probabilidad $p^2$ ,
• $ab$ con probabilidad $2pq$ y
• $b^2$ con probabilidad $q^2$ .

He conseguido calcular la media del paso $n$ : $E_n=(ap+bq)^n$ . ¿Cuál es la varianza del paso $n$ ?

Answer 1

Para cada $k$ entre $0$ y $n$ inclusive, la posibilidad de $k$ pasos hacia arriba (y por lo tanto $n-k$ pasos hacia abajo) viene dada por la distribución Binomial como $\binom{n}{k}p^kq^{n-k}.$ Por la definición de expectativa como la suma de las probabilidades por los valores,

$$\mu_n^{(1)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k q^{n-k}\, a^k b^{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (ap)^k (bq)^{n-k} = (ap + bq)^n.$$

La última igualdad es el Teorema del Binomio. Esto concuerda con el valor de $E_n$ que ya has encontrado.

La varianza se puede encontrar en términos de la expectativa del cuadrado de los valores del paseo, exactamente paralela al cálculo anterior:

$$\mu_n^{(2)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k q^{n-k}\, \left(a^k b^{n-k}\right)^\color{red}2 = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (a^\color{red}2p)^k (b^\color{red}2q)^{n-k} = (a^\color{red}2p + b^\color{red}2q)^n.$$

Por lo tanto,

$$\text{Variance} = \mu_n^{(2)} - \mu_n^{(1)} = (a^2p + b^2q)^n - (ap + bq)^{2n}.$$