Dominio estocástico de primer orden y suma de variables aleatorias

Question

Supongamos que $X$ domina estocásticamente de primer orden $Y$ .

Además, $W_i$ es I.I.D. y sigue la distribución Bernoulli con una probabilidad de éxito de $\alpha$

Entonces, ¿se $X +\sum_{i=1}^{f(X)} W_i$ dominan estocásticamente de primer orden $Y +\sum_{i=1}^{f(Y)} W_i$ ?

Answer 1

Sí.

Reclamación:

Supongamos que

• Tenemos variables aleatorias $X, Y, \{W_i\}_{i=1}^{\infty}$ .

• $W_i\geq 0$ para todos $i \in \{1, 2, 3, ...\}$ .

• $(X,Y)$ es independiente de $\{W_i\}_{i=1}^{\infty}$ .

• $P[X>x] \geq P[Y>x]$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .

• $f:\mathbb{R}\rightarrow \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ es una función no decreciente.

Entonces $P[X + \sum_{i=1}^{f(X)} W_i > x] \geq P[Y + \sum_{i=1}^{f(Y)} W_i > x]$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .

Prueba:

Ampliar el espacio de probabilidad para incluir una variable aleatoria $U$ que es uniforme sobre $(0,1)$ y es independiente de $(X, Y, \{W_i\}_{i=1}^{\infty})$ . Definir las variables aleatorias $A$ y $B$ (basado enteramente en $U$ ) por:

\begin{align} A &= \inf \{x \in \mathbb{R} : P[X\leq x]\geq U\}\\ B &= \inf \{ x \in \mathbb{R} : P[Y\leq x]\geq U\} \end{align} Por la teoría estándar para generar variables aleatorias según una distribución dada, sabemos que $A$ tiene la misma distribución que $X$ y $B$ tiene la misma distribución que $Y$ . Además, como $A$ y $B$ se basan enteramente en $U$ son ambos independientes de $(X,Y, \{W_i\})$ . Por último, vemos que $A\geq B$ siempre (ya que $P[X\leq x]\leq P[Y\leq x]$ para todos $x$ ). Así que tenemos: \begin{align} A &\geq B \\ f(A) &\geq f(B)\\ \sum_{i=1}^{f(A)} W_i &\geq \sum_{i=1}^{f(B)} W_i \end{align} Así, $$ A + \sum_{i=1}^{f(A)} W_i \geq B + \sum_{i=1}^{f(B)} W_i$$ Pero el lado izquierdo tiene la misma distribución que $X + \sum_{i=1}^{f(X)}W_i$ mientras que el lado derecho tiene la misma distribución que $Y+\sum_{i=1}^{f(Y)}W_i$ . $\Box$