Intersección de campos fijos

Question

En mi curso de teoría de Galois estamos encontrando actualmente campos fijos. En un ejercicio definimos los siguientes isomorfismos $$\sigma(\alpha) = \alpha i,\quad \sigma (i) = i, \quad o(\alpha)=4$$ $$\tau(\alpha) = \alpha,\quad \tau (i) = -i, \quad o(\tau)=2$$

Tenemos que el campo fijo de $\langle \sigma^2 \rangle$ es $\mathbb{Q}(\alpha^2, i)$ y que el campo fijo de $\langle \tau \rangle$ es $\mathbb{Q}(\alpha)$ y entiendo cómo los encontramos.

Entonces nuestro profesor dijo que el campo fijo de $\langle \sigma^2, \tau \rangle$ es $\mathbb{Q}(\alpha^2, i) \cap \mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{\alpha^2}$ . ¿Cómo podemos encontrar $\mathbb{Q}(\alpha^2, i) \cap \mathbb{Q}(\alpha)$ ?

Answer 1

Es difícil redactar esto con precisión porque no dices qué $\alpha$ es. Desde $\sigma(\alpha) = i \alpha$ es un automorfismo, es razonable suponer que $\alpha = \sqrt[4]{2}$ o similar. Yo trabajaré bajo esta suposición, pero no es difícil modificar este enfoque para cualquiera que sea su $\alpha$ resulta ser.

Como enfoque de fuerza bruta, recordemos

$$ \mathbb{Q}(\alpha) = \{ a + b \alpha + c \alpha^2 + d \alpha^3 \} $$

$$ \mathbb{Q}(\alpha^2, i) = \{ e + b i + c \alpha^2 + d \alpha^2 i \} $$

donde todos los coeficientes provienen de $\mathbb{Q}$ .

Pero entonces, ¿qué significa que un elemento esté contenido en ambos de estos campos? Pues bien, es debe ser de la forma

$$ \{ a + c \alpha^2 \} $$

Así que obtenemos $\mathbb{Q}(\alpha^2)$ como la intersección. Lo que concuerda con lo que dijo tu profesor.

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Espero que esto ayude ^_^