Puede alguien me da un ejemplo de un subconjunto compacto de tal forma que su cierre no es compacto, por favor? Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Escribir $\tau$ para el estándar de la topología en $\Bbb R$. Considere ahora $\tau_0=\{U\cup\{0\}\mid U\in\tau\}\cup\{\varnothing\}$.
No es difícil comprobar que $\tau_0$ es una topología en $\Bbb R$. También, no es difícil ver que $\overline{\{0\}}=\Bbb R$. Sin embargo, uno puede fácilmente ingeniero de una apertura de la tapa sin finito subcover.
Creo que el ejemplo más sencillo sería probablemente el "punto particular de la topología" en un conjunto infinito.
$X = \{1,2,3,\ldots\}$ con topolology determinado por $U \subset X$ abierto si y sólo si $U = \varnothing$ o $1 \in U$.
Ahora, $\{1\}$ es compacto, ya que es finito. Sin embargo, $\overline{ \{1\}} =X$ $X$ no es compacto ya que la cobertura $X = \bigcup_{n=2}^\infty \{ 1, n\}$ no tiene finita subcover.
Aquí está un ejemplo (usando el formalismo de afín esquemas) que ilustra Elden excelente idea.
Deje $k$ ser un campo y $\mathbb A^\infty_k$ ser afín esquema asociado al polinomio anillo de más de $k$ en infinidad de variables: $$\mathbb A^\infty_k=\operatorname {Spec} (k[T_n|n\in \mathbb N])$$
Para nuestro ejemplo vamos a considerar el abrir el subespacio $$X=\mathbb A^\infty_k\setminus \{\mathfrak m\}$$ where $\mathfrak m$ is the maximal ideal $\mathfrak m=(T_0 ,...,T_n,..)\subconjunto de k[T_n|n\in \mathbb N]$
Que el subespacio $X$ tiene el punto de $\eta=(0)$ correspondiente a los cero ideal como punto genérico, lo que significa que el singleton set $\{\eta\}$ es denso en $X$ : $\overline{ \{\eta\}}=X$ .
Ahora $\{\eta\}$ es, sin duda compacto, pero su cierre $X$ no es cuasi-compacto:
De hecho, $X$ está cubierto por la familia de la directora open subconjuntos $(D(T_n))_{n\in \mathbb N}$, pero finito, de la unión de $\bigcup^N_{n=0} D(T_n)$ nunca pueden cubrir $X$ ya que para el primer ideal $(T_0,...,T_N)\in X$ tenemos $(T_0,...,T_N)\notin \bigcup^N_{n=0} D(T_n)$.
No hay Hausdorff ejemplos; T$_0$ ejemplos son triviales; el siguiente T$_1$ ejemplo es sólo un poco menos trivial.
Deje $A,B$ ser distintos conjuntos infinitos, y deje $X=A\cup B$ con la topología $$\tau=\{\emptyset\}\cup\{U\subseteq X:A\setminus U\text{ is finite}\}.$$ Then $X$ is a T$_1$-space, $Un$ is a compact subspace of $X$, and $\overline A=$ X no es compacto.
Las otras respuestas son fantásticos. Os presento el mío, pues me parece ser un "caso de prueba" a tener en cuenta en otras situaciones, especialmente para las declaraciones acerca de los límites.
Considere la posibilidad de $\mathbb{R}$ con la siguiente topología: $U\in\tau$ si y sólo si $$U = (a,\infty),\hspace{2ex}a\in[-\infty,\infty],$$ donde $(\infty,\infty)$ es entendida como el conjunto vacío y $(-\infty,\infty) = \mathbb{R}$.
Cualquier singleton $\{x\}\subset \mathbb{R}$ es compacto: dado un abierto de la cubierta $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$, tomar cualquiera de los elementos de la cubierta, por la definición que contiene $\{x\}$, por lo que hay un número finito de subcover que consta de un solo conjunto.
El cierre de $\{x\}$$(-\infty, x]$. Este conjunto no es compacto: la apertura de la tapa que consta de todos los conjuntos de la forma $(a,\infty)$ $a>-\infty$ no tiene finita subcover.