Análisis multidimensional multirresolución, diseño de ondículas biortogonales.

Question

Con la inspiración de esta pregunta Me pregunto si es posible construir bases biortogonales para dimensiones arbitrarias con el mismo mecanismo. Estoy pensando en un submuestreo de un factor de $N$ en cada uno de $D$ dimensiones.

En particular, queremos (como en el caso unidimensional) una reconstrucción perfecta. En el caso unidimensional esto viene dado por de la fuente Wavelet Tutorial , página 19: $$\begin{align}H(z)H_i(z) + G(z)G_i(z) = 2&\\ H(-z)H_i(z) + G(-z)G_i(z) = 0&\end{align}$$ O en términos matriciales: $$\left[\begin{array}{c}H_i(z)\\G_i(z)\end{array}\right] = \frac{2}{\det(H_m)} \left[\begin{array}{r}G(-z)\\-H(-z)\end{array}\right]$$

Wikipedia la siguiente relación bien conocida para el caso unidimensional de biortogonalidad:

$$\sum_{n\in\mathbb{N}}a_n{\tilde a}_{n+2m} = 2 \delta_{m,0}$$

Esto significa básicamente la convolución de $a$ y $\tilde a$ es la identidad.

¿Cómo ampliarlo a más dimensiones? Voy a exponer algunas de mis ideas, pero espero que me desafíen y me hagan contrapropuestas.

---

Trabajo propio, o sospechas: Por razones prácticas, sustituyamos la tilde por un vector de indexación $l$ . Denotemos la secuencia de filtros $a(l)_n$ , $l\in {{\mathbb Z}_N}^D$ .

Una ampliación que podemos hacer es

$$a([0,0,\cdots]) * a(l) = \delta, \forall l \neq [0,\cdots,0]$$

Donde este $a([0,0,\cdots])$ es un filtro que preserva la media.

Creo que esto sería compatible con las transformaciones separables, pero permitiría una mayor libertad para diseñar los filtros de paso alto. ¿Tiene sentido?

---

Observación 2:

Nótese que las anteriores son ecuaciones polinómicas o sistemas de ecuaciones polinómicas (las transformaciones z $H,H_i,G,G_i$ de los filtros). En una dimensión se trata de polinomios de una variable, pero a medida que la dimensionalidad aumenta, también lo hace el número de variables de los polinomios. Por lo tanto, si existen restricciones similares para las transformaciones Z de los filtros de las ondículas multidimensionales, éstas conducirían a la resolución de sistemas de ecuaciones polinómicas multivariantes.

Answer 1

Si desea utilizar la dilatación diádica para sus ondículas, entonces para $n=2,$ las ecuaciones matriciales correspondientes son $$\begin{bmatrix} H(z_{1},z_{2})&G_{1}(z_{1},z_{2})&G_{2}(z_{1},z_{2})&G_{3}(z_{1},z_{2})\\ H(-z_{1},z_{2})&G_{1}(-z_{1},z_{2})&G_{2}(-z_{1},z_{2})&G_{3}(-z_{1},z_{2})\\ H(z_{1},-z_{2})&G_{1}(z_{1},-z_{2})&G_{2}(z_{1},-z_{2})&G_{3}(z_{1},-z_{2})\\ H(-z_{1},-z_{2})&G_{1}(-z_{1},-z_{2})&G_{2}(-z_{1},-z_{2})&G_{3}(-z_{1},-z_{2}) \end{bmatrix} \times\begin{bmatrix} \tilde{H}(z_{1},z_{2})&\tilde{H}(-z_{1},z_{2})&\tilde{H}(z_{1},-z_{2})&\tilde{H}(-z_{1},-z_{2})\\ \tilde{G}_{1}(z_{1},z_{2})&\tilde{G}_{1}(-z_{1},z_{2})&\tilde{G}_{1}(z_{1},-z_{2})&\tilde{G}_{1}(-z_{1},-z_{2})\\ \tilde{G}_{2}(z_{1},z_{2})&\tilde{G}_{2}(-z_{1},z_{2})&\tilde{G}_{2}(z_{1},-z_{2})&\tilde{G}_{2}(-z_{1},-z_{2})\\ \tilde{G}_{3}(z_{1},z_{2})&\tilde{G}_{3}(-z_{1},z_{2})&\tilde{G}_{3}(z_{1},-z_{2})&\tilde{G}_{3}(-z_{1},-z_{2}) \end{bmatrix}=4I, $$ estos pueden extenderse a dimensiones más altas que $2$ pero normalmente se hace utilizando polinomios trigonométricos en lugar del $z$ -ya que esto nos permite escribir cosas como $H(-z_{1},z_{2},z_{3},-z_{4},-z_{5})=\tau(\omega+(\pi,0,0,\pi,\pi)),$ Esta última es más fácil de escribir de manera general.

Si $\tau,\tilde{\tau}$ son polinomios trigonométricos multidimensionales con $\tau(0)=\tilde{\tau}(0)=1$ entonces la condición de biortogonalidad es $$\sum_{\gamma\in\{0,\pi\}^{n}}\tau(\omega+\pi)\overline{\tilde{\tau}(\omega+\pi)}=1\text{ for all }\omega\in[-\pi,\pi]^{n}.$$

Como sospechabas, necesitamos encontrar polinomios multivariantes que satisfagan varias condiciones cuando pasamos a dimensiones superiores. Esto se complica aún más cuando añadimos las condiciones de número de precisión/número de planicidad/momentos de fuga, las condiciones de simetría y, mucho más difíciles que éstas, las condiciones de suavidad de la función $\phi$ satisfaciendo $\hat{\phi}(\omega)=\tau(\omega/2)\hat{\phi}(\omega/2)$ (la función refinable).