Notación de suma: $i<j$

Question

¿Es esto cierto? $$ \sum\limits_{i<j} x_ix_j = \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=1}^j x_ix_j$$ $i, j = 1,\ldots,n$

Y en el lado izquierdo, ¿cómo puedes saber cuándo se detiene?

Answer 1

No del todo: estás sumando términos $x_jx_j$ a la derecha que no aparecen a la izquierda... La fórmula correcta es $$\sum_{j=2}^n\sum_{i=1}^{j-1}\,x_ix_j$$

Answer 2

¡Estás cerca! Fíjate que $\sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=1}^j x_ix_j$ contiene el término $x_jx_j\forall j \leq n$

$$ \sum\limits_{i<j} x_ix_j = \sum\limits_{j=2}^n \sum\limits_{i=1}^{j-1} x_ix_j$$

Answer 3

Me gusta utilizar la suma de Iverson: $$ \sum_{i<j}x_ix_j=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n[i<j] x_ix_j=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{j-1}x_ix_j=\sum_{j=2}^n\sum_{i=1}^{j-1}x_ix_j $$ donde $[i<j]$ es un soporte Iverson igual a uno si $i<j$ y cero en caso contrario.

Answer 4

Usted escribió $\sum\limits_{i<j} x_ix_j = \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=1}^j x_ix_j$

Para cambiar el lado izquierdo para que sea el mismo que el derecho, lo cambiaría por $\sum\limits_{1\le i\le j \le n} x_ix_j $ .