Demostrando que este número es irracional

Question

Prueba el número $\log_2 3$ es irracional

Mi intento:

Supongamos que $\log_2 3 $ es racional

Por definición $log_2 3 =y$

También por definición $y=\frac{a}{b}$ tal que $b \not = 0$

Ahora tienes $ 2^{\frac{a}{b}}=3$

De este modo, el aumento de ambos lados por $b$ se llega a

$2^{a}=3^{b}$

Por lo tanto, $b=a\frac{\log2}{log3}$ y $a=b\frac{\log3}{log2}$

Ahora no sé qué hacer con esto en este momento. Cualquier pista o error que estoy haciendo será útil esta es una nueva técnica para mí.

Answer 1

Desde $2^a = 3^b$ , $3^b$ es un número par a menos que $a = 0$ . Si $a = 0$ , $3^b = 1$ . Esto es imposible ya que $b\neq 0$ .