Supongamos que $G$ un grupo de Lie reductor con un número finito de componentes conectadas, y supongamos además que la componente conectada $G^0$ de la identidad puede expresarse como una cubierta finita de un grupo lineal de Lie. Denotemos por $\mathfrak{g}$ el álgebra de Lie complejizada, y denotamos por $K$ un compacto máximo en la complejización de $G$ .
Denota por $\mathbf{HC}(\mathfrak{g},K)$ la categoría de admisible $(\mathfrak{g},K)$ -o ( Módulos Harish Chandra ), y $(\mathfrak{g},K)$ -homomorfismos de módulos. Denotemos por $\mathbf{Rep}(G)$ la categoría de representaciones admisibles de longitud finita (en espacios vectoriales topológicos completos localmente convexos de Hausdorff), con lineales continuos $G$ -mapas.
El functor Harish Chandra $\mathcal{M}\colon\mathbf{Rep}(G)\to\mathbf{HC}(\mathfrak{g},K)$ asigna a cualquier representación admisible $V$ el módulo Harish Chandra de $K$ -vectores finitos de $V$ . Se trata de un functor fiel y exacto. Llamemos a un funtor exacto $\mathcal{G}\colon\mathbf{HC}(\mathfrak{g},K)\to\mathbf{Rep}(G)$ junto con un isomorfismo de comparación $\eta_{\mathcal{G}}\colon\mathcal{M}\circ\mathcal{G}\simeq\mathrm{id}$ a functor de globalización .
Nuestra primera observación es que los funtores de globalización existen.
Teorema. [Casselman-Wallach] La restricción de $\mathcal{M}$ a la subcategoría completa de los espacios lisos admisibles de Fréchet es una equivalencia. Además, para cualquier módulo de Harish Chandra $M$ la representación admisible lisa esencialmente única $(\pi,V)$ tal que $M\cong\mathcal{M}(\pi,V)$ tiene la propiedad $\pi(\mathcal{S}(G))M=V$ , donde $\mathcal{S}(G)$ es el álgebra de Schwartz de $G$ .
Si no restringimos $\mathcal{M}$ a espacios de Fréchet suaves y admisibles, entonces tenemos una globalización mínima y otra máxima.
Teorema. [Kashiwara-Schmid] $\mathcal{M}$ admite un adjunto izquierdo $\mathcal{G}_0$ y el adjunto derecho $\mathcal{G}_{\infty}$ , y el counit y la unidad dan a estos funtores la estructura de funtores de globalización.
Construcción. A continuación se describen brevemente las globalizaciones mínima y máxima. La globalización mínima es
$$\mathcal{G}_0=\textit{Dist}_c(G)\otimes_{U(\mathfrak{g})}-$$
donde $\textit{Dist}_c(G)$ denota el espacio de las distribuciones con soporte compacto en $G$ y el máximo es
$$\mathcal{G}_{\infty}=\mathrm{Hom}_{U(\mathfrak{g})}((-)^{\vee},C^{\infty}(G))$$
donde $M^{\vee}$ es el módulo dual Harish Chandra de $M$ (es decir, el $K$ -vectores finitos del dual algebraico de $M$ ).
Para cualquier módulo de Harish Chandra $M$ la globalización mínima $\mathcal{G}_0(M)$ es un espacio nuclear dual de Fréchet, y la globalización máxima $\mathcal{G}_{\infty}(M)$ es un espacio nuclear de Fréchet.
Ejemplo. Si $P\subset G$ es un subgrupo parabólico, entonces el espacio $L^2(G/P)$ de $L^2$ -en el espacio homogéneo $G/P$ es una representación admisible, y $M=\mathcal{M}(L^2(G/P))$ es un módulo de Harish Chandra especialmente interesante. En este caso, se puede identificar $\mathcal{G}_0(M)$ con las funciones analíticas reales sobre $G/P$ y se puede identificar $\mathcal{G}_{\infty}(M)$ con las hiperfunciones en $G/P$ .
[Creo que se conocen o se esperan otras globalizaciones con propiedades diferentes; sin embargo, aún no sé mucho sobre ellas].
Considere la categoría $\mathbf{Glob}(G)$ de funtores de globalización para $G$ ; morfismos $\mathcal{G}'\to\mathcal{G}$ son transformaciones naturales que deben ser compatibles con los isomorfismos de comparación $\eta_{\mathcal{G}'}$ y $\eta_{\mathcal{G}}$ . Desde $\mathcal{M}$ es fiel, esta categoría es en realidad un poset, y tiene tanto un inf como un sup, a saber $\mathcal{G}_0$ y $\mathcal{G}_{\infty}$ . Esta es la poset de globalizaciones para $G$ .
Me gustaría saber más sobre la estructura del poset $\mathbf{Glob}(G)$ - realmente, cualquier cosa, pero permítanme hacer la siguiente pregunta concreta.
Pregunta. ¿Cualquier colección finita de elementos de $\mathbf{Glob}(G)$ ¿admitir tanto un inf como un sup?
[Añadido más tarde]
Emerton (abajo) menciona un cuadro geométrico que parece adaptarse muy bien al estudio de nuestro poset $\mathbf{Glob}(G)$ . Permítanme introducir las ideas principales de los objetos de interés, y lo que he aprendido acerca de nuestro poset. [Lo que voy a decir fue esencialmente esbozado por Kashiwara en 1987.] Para ello, probablemente tenemos que asumir que $G$ está conectado.
Notación. Dejemos que $X$ sea el colector de banderas de la complejización de $G$ . Sea $\lambda\in\mathfrak{h}^{\vee}$ sea un elemento dominante del espacio dual del Cartan universal; para simplificar, supongamos que es regular. Ahora se pueden definir las categorías derivadas equivariantes retorcidas y acotadas $D^b_G(X)_{-\lambda}$ y $D^b_K(X)_{-\lambda}$ de gavillas construibles en $X$ . Ahora dejemos que $\mathbf{Glob}(G,\lambda)$ denota el conjunto de globalizaciones para representaciones admisibles con carácter infinitesimal $\chi_{\lambda}$ por lo que los objetos son funtores exactos $\mathcal{G}\colon\mathbf{HC}(\mathfrak{g},K)_{\chi_{\lambda}}\to\mathbf{Rep}(G)_{\chi_{\lambda}}$ equipado con isomorfismos naturales $\eta_{\mathcal{G}}:\mathcal{M}\circ\mathcal{G}\simeq\mathrm{id}$ .
Correspondencia de Matsuki. [Mirkovic-Uzawa-Vilonen] Hay una equivalencia canónica $\Phi\colon D^b_G(X)_{-\lambda}\simeq D^b_K(X)_{-\lambda}$ . La estructura t perversa en este último puede ser levantada a lo largo de esta correspondencia para obtener una estructura t en $D^b_G(X)_{-\lambda}$ también. La correspondencia de Matsuki se restringe entonces a una equivalencia $\Phi\colon P_G(X)_{-\lambda}\simeq P_K(X)_{-\lambda}$ entre los corazones correspondientes.
Construcción Beilinson-Bernstein. Existe una equivalencia canónica $\alpha\colon P_K(X)_{-\lambda}\simeq\mathbf{HC}(\mathfrak{g},K)_{\chi_{\lambda}}$ , dado por Riemann-Hilbert, seguido de la toma de cohomología. [Si $\lambda$ no es regular, entonces esto no es del todo una equivalencia].
Ahora deducimos una descripción geométrica de un objeto de $\mathbf{Glob}(G,\lambda)$ como un functor exacto $\mathcal{H}\colon P_G(X)_{-\lambda}\to\mathbf{Rep}(G)_{\chi_{\lambda}}$ dotado de un isomorfismo natural $\mathcal{M}\circ\mathcal{H}\simeq\alpha\circ\Phi$ o, de manera equivalente, como un functor convenientemente t-exacto $\mathcal{H}\colon D^b_G(X)_{-\lambda}\to D^b\mathbf{Rep}(G)_{\chi_{\lambda}}$ equipado con una identificación functorial entre el (complejo de) módulo(s) Harish Chandra de $K$ -vectores finitos de $\mathcal{H}(F)$ y $\mathrm{RHom}(\mathbf{D}\Phi F,\mathcal{O}_X(\lambda))$ para cualquier $F\in D^b_G(X)_{-\lambda}$ . En particular, como observa Emerton, las globalizaciones máxima y mínima pueden expresarse como
$$\mathcal{H}_{\infty}(F)=\mathrm{RHom}(\mathbf{D}F,\mathcal{O}_X(\lambda))$$
et
$$\mathcal{H}_0(F)=F\otimes^L\mathcal{O}_X(\lambda)$$
Obsérvese que la dualidad de Verdier da lugar a una anti-involución $\mathcal{H}\mapsto(\mathcal{H}\circ\mathbf{D})^{\vee}$ del poset $\mathbf{Glob}(G,\lambda)$ en particular, intercambia $\mathcal{H}_{\infty}$ y $\mathcal{H}_0$ .
Ahora espero que se pueda demostrar lo siguiente (aunque no pretendo haber reflexionado sobre este punto con la suficiente atención como para llamarlo proposición).
Conjetura. Todos los funtores de globalización son representables. Es decir, cada elemento de $\mathbf{Glob}(G,\lambda)$ es de la forma $\mathrm{RHom}(\mathbf{D}(-),E)$ para algún objeto $E\in D^b_G(X)_{-\lambda}$ .
Pregunta. ¿Se pueden caracterizar esos objetos $E\in D^b_G(X)_{-\lambda}$ tal que el functor $\mathrm{RHom}(\mathbf{D}(-),E)$ es un functor de globalización? Dado un mapa entre dos de ellos cualesquiera, ¿en qué circunstancias inducen un morfismo de funtores de globalización (según la definición anterior)?
En particular, nótese que si mi expectativa se mantiene, entonces uno debería ser capaz de encontrar una copia del poset $\mathbf{Glob}(G,\lambda)$ incrustado en $D^b_G(X)_{-\lambda}$ .
