Me gustaría expresar la potencia real consumida en una red de dos puertos utilizando sus parámetros S.
Supongamos, para simplificar, que \$\underline{Z}=R\in\Re\$
(1) Mi idea era utilizar la conservación de la energía: $$ P_{in} = P_{loss} + P_{refl} + P_{trans}\quad,$$ donde \$ P_{in}, P_{loss}, P_{refl},P_{trans}\$ son la potencia de entrada, la potencia "consumida" por el bipuerto (o aquí Z), la potencia reflejada y la potencia transmitida, respectivamente. Reordenando se obtiene: $$ P_{loss}/P_{in} = 1 - P_{refl}/P_{in} - P_{trans}/P_{in} = 1 - |S_{11}|^2-|S_{21}|^2 $$ Introduciendo los valores correspondientes de la matriz S ( \$S_{11} = \frac{Z}{2Z_0+Z}, S_{21}=\frac{2Z_0}{2Z_0+Z} \$ ) $$ P_{loss}/P_{in} = \frac{4Z_0Z}{(2Z_0+Z)^2}\quad $$ que es también lo que obtengo usando una expresión para la potencia real consumida en un bipuerto que encontré en los apuntes de clase (creo que hasta un factor 2, que viene de tomar la parte real supongo). $$ P_{real} = \frac{1}{2}\vec{{a}}^\dagger(\overset\leftrightarrow{1}-\overset\leftrightarrow{S}^\dagger\overset\leftrightarrow{S})\vec{a} $$ , donde \$\vec{a}, \overset\leftrightarrow{1}, \overset\leftrightarrow{S}, \dagger\$ son el vector de entrada, la identidad, la matriz S y el adjunto, respectivamente.
(2) Sin embargo, si miro la potencia consumida en la impedancia Z, podría escribirla como $$ P_Z = U_Z \cdot I = Z \cdot I^2 = U^2\frac{Z}{(Z+2Z_0)^2}\quad $$ donde utilicé la fórmula del divisor de tensión, y por lo tanto $$ P_Z/P_{in} = \frac{Z}{Z+2Z_0}\quad $$ que es desigual a la expresión anterior para \$Z\neq0\$ .
(3) Si vuelvo a modelar los dos puertos como una única impedancia en serie, podría encontrar la ESR, utilizando la matriz Z. $$ \text{ESR} = \text{Real}(Z_{21}-Z_{11})= \text{Real}(\left.\frac{U_2-U_1}{I_1}\right|_{I_{2=0}})\quad. $$ Utilizando las reglas de transformación de la matriz Z a S (de wikipedia.org) y utilizando \$S_{11}=S_{22}, S_{21}=S_{12}^*\$ (el puerto es simétrico para una sola impedancia, esto me da de nuevo otra expresión: $$ \text{ESR}=\text{Real}\frac{(2S_{21}-1+S_{11}^2-|S_{21}]^2)Z_0}{1+S_{11}^2-2S_{11}+|S_{21}|^2} $$
¿Qué estoy haciendo mal? Mi objetivo general es encontrar una expresión de la potencia real consumida por un bipuerto arbitrario que sólo dependa de la matriz S, o equivalentemente supongo que encontrar una expresión para la ESR que dependa de la matriz S.
