Los filtros y ultrafiltros desempeñan un papel básico en topología: permiten una teoría general de la convergencia en espacios topológicos cuando las secuencias no son suficientes. Además, lo hacen de una forma posiblemente más elegante y canónica que la teoría rival de las redes: véase mis notas sobre la convergencia donde desarrollo redes, luego filtros y luego comparo los dos. Pero en cualquier caso, la teoría de la convergencia en los espacios topológicos es una especie de "producto acabado": está ahí para que lo utilices, y es ciertamente útil, pero la teoría en sí misma y la forma de aplicarla parecen estar ya bien entendidas: por ejemplo, la teoría de la convergencia se encuentra hoy en día casi exactamente en el mismo punto que después de la publicación de la obra de Bourbaki Topología general para 1950. (O esa es mi impresión. Por favor, dígame si simplemente estoy hablando desde la ignorancia).
Por otra parte, el uso de (especialmente los ultra) filtros en las matemáticas en general está definitivamente en aumento, especialmente en los últimos años. La construcción fundamental en este caso es el ultraproducto de las estructuras. Su importancia en la teoría de modelos está garantizada por la teorema de Jerzy o . A grandes rasgos, el ultraproducto de una familia de estructuras hereda todas las propiedades elementales compartidas por la "mayoría" de las estructuras de la familia y, al mismo tiempo, es muy convenientemente "grande" (en una terminología más teórica del modelo, los ultraproductos gozan de buena propiedades de saturación ). Esto nos lleva rápidamente a la idea de modelos no estándar que fueron inicialmente más populares en contextos analíticos. Pero parece que los métodos no estándar no han calado en la mayoría de la comunidad analítica. No es así en el álgebra, la geometría algebraica y la teoría de números, donde los "métodos no estándar" se están convirtiendo en algo cada vez más estándar. Creo que dentro de 10-20 años, los ultrafiltros serán un tema muy familiar para los estudiantes de posgrado, debido a sus aplicaciones teóricas de modelos.
Para conocer un poco el uso de los ultrafiltros en la teoría de modelos, puede leer el capítulo final de los apuntes de clase del breve curso de verano sobre teoría de modelos que impartí en 2010. (Si no conoces nada de teoría de modelos, tendrás que mirar también los capítulos anteriores para entenderlo de verdad, pero quizás puedas hacerte una idea de lo que pasa simplemente hojeando este capítulo). Pero eso es apenas la punta del iceberg: hay libros enteros escritos sobre este tema, por ejemplo, de (Bell y Slomson) y (Chang y Keisler).
Por último, el estudio de las propiedades de saturación de los ultraproductos conduce rápidamente a algunas consideraciones teóricas de conjuntos no triviales. El hecho de que los teóricos del modelo conozcan y se preocupen mucho más por la teoría de conjuntos que muchos otros matemáticos en activo puede deberse probablemente a esto, al menos en parte.
