Es $\frac14 + \frac15 + \cdots + \frac1{14} + \frac1{15}\lt\frac32$ ?

Question

Utiliza alguna combinación de aritmética, álgebra y/o cálculo integral elemental para determinar si la suma

$$\frac14 + \frac15 + \cdots + \frac1{14} + \frac1{15}\lt\frac32$$

Answer 1

Podemos hacer uso del hecho serendípico de que el producto de los tres primos engorrosos $7$ , $11$ y $13$ es casi exactamente $1000$ :

$$ \frac17+\frac1{11}+\frac1{13}=\frac{11\cdot13+13\cdot7+7\cdot11}{1001}=\frac{311}{1001}\lt\frac{311}{1000}\;. $$

Las fracciones restantes se pueden combinar así:

$$ \frac14+\frac18=\frac{3}{8}=\frac{375}{1000}\;, $$

$$ \frac15+\frac1{10}=\frac3{10}=\frac{300}{1000}\;, $$

\begin{align} \frac16+\frac19+\frac1{12}+\frac1{14}+\frac1{15}&\lt\frac16+\frac19+\frac1{12}+\frac1{12}+\frac1{15}\\ &=\frac{30+20+15+15+12}{180}\\ &=\frac{92}{180}\\ &=\frac12+\frac1{90} \end{align}

Las tres primeras sumas suman

$$ \frac{311+375+300}{1000}=\frac{986}{1000}=1-\frac{14}{1000}\;. $$

Entonces el resultado deseado se deduce de

$$ \frac1{90}-\frac{14}{1000}=\frac{100-9\cdot14}{9000}=-\frac{26}{9000}\;. $$

Me temo que no he utilizado el álgebra ni el cálculo, pero dice "y/o". :-)

Answer 2

Como $\frac1x$ es convexo, obtenemos $$\frac1k \le \int_{k-\frac12}^{k+\frac12}\frac1x dx \quad \implies \sum_{k=4}^{15}\frac1k \le \int_{3.5}^{15.5}\frac1xdx = \log\frac{31}7 < \frac32$$

Por supuesto, eso todavía necesita que te aproximes $\log \frac{13}7$ aunque en el lado positivo funcionaría bien para un número mucho mayor de términos...