¿Cuáles son los puntos fijos de la exponenciación cardinal?

Question

Siempre que $\kappa$ es un infinito número cardinal, escribe $\mathrm{cl}_\kappa$ para la función única $\mathrm{Card} \rightarrow \mathrm{Card}$ dado por $\mathrm{cl}_\kappa(\nu) = \nu^\kappa.$ De ello se desprende que, siempre que $\kappa$ es un cardinal infinito, tenemos que $\mathrm{cl}_\kappa$ es un operador de cierre (es decir, es monótono e idempotente, y satisface $\mathrm{cl}_\kappa(\nu) \geq \nu$ ). N.B. Necesitamos $\nu$ para ser infinito para la idempotencia.

Pregunta general. ¿Cuáles son los puntos fijos de $\mathrm{cl}_\kappa$ en función de $\kappa$ ?

Ahora está claro lo siguiente. Sea $\kappa$ denotan un número cardinal infinito. Entonces, claramente, $0$ y $1$ son puntos fijos de $\mathrm{cl}_\kappa$ . También lo es $2^\kappa$ ; más en general, $2^\gamma$ , siempre que $\gamma$ es un cardinal mayor o igual a $\kappa$ . Estaba pensando que tal vez estos son los únicos puntos fijos.

Pregunta específica. ¿Son los puntos fijos de $\mathrm{cl}_\kappa$ precisamente $0,1,$ y los cardenales que se pueden expresar en la forma $2^\gamma$ para algunos $\gamma \geq \kappa$ ?

Más allá de la ZFC, siéntase libre de asumir que la función continua $2 \mapsto 2^\kappa$ es inyectiva, y/o que $2^\kappa$ es débilmente inaccesible para cada cardinal infinito $\kappa$ . (No me interesan tanto las implicaciones de la hipótesis del continuum ni sus refuerzos).

Answer 1

A la pregunta concreta, la respuesta es sistemáticamente no. Por ejemplo, considere el siguiente caso con $\kappa=\aleph_0$ :

Supongamos que $2^{\aleph_0}=\aleph_1,2^{\aleph_1}=2^{\aleph_2}=\aleph_3$ . Ahora tenemos $\aleph_2^{\aleph_0}=\aleph_2\cdot2^{\aleph_0}=\aleph_2$ a pesar de que $\aleph_2\neq2^{\aleph_\alpha}$ para cualquier $\alpha$ . Puedes tener eso con $\sf ICF$ al tener $2^{\aleph_n}=\aleph_{n+2}$ para $n>0$ y $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ (y $\sf GCH$ por encima de $\aleph_\omega$ ).

De forma más general, hay algunas reglas que responderían a una parte de tu pregunta en general, pero no conozco ninguna caracterización agradable de tales puntos fijos. Es posible que haya algunas reglas más enrevesadas y la división a varios casos y así sucesivamente. Puedo recomendar el primer capítulo del siguiente libro como referencia:

M. Holz, K. Steffens, E. Weitz, " Introducción a la aritmética cardinal ". Birkhäuser 1999 (2ª edición 2009).