¿Existen infinitas eigenformas cuspidales (linealmente independientes) para $\Gamma(1)$ con coeficientes enteros?
Alguien me dijo que se conjetura que el álgebra de Hecke actúa irreduciblemente en el espacio de formas modulares de nivel 1, por lo que no habría formas propias si $\mathrm{dim} S_k > 1$ es decir, para $k \geq 12$ .
Reemplazaré forma modular por cuspform en su pregunta, sólo para evitar la respuesta trivial de oui por la serie de Eisenstein. Dado esto, la evidencia numérica sugiere que las formas propias de peso $k$ son todos conjugados (en el sentido de que sus $q$ -son todas conjugadas algebraicamente bajo la acción de $Gal(\overline{\mathbb Q}/{\mathbb Q})$ ). Si este fuera el caso, la respuesta a su pregunta sería no . Como esta pregunta está abierta, estoy bastante seguro de que la respuesta a su pregunta no se conoce.
Hay muchas pruebas de esta afirmación de conjugación, pero la única sugerencia que conozco de por qué es cierta es esencialmente que es la posibilidad más simple, dado que no se conoce ninguna razón para que sea falsa (en contraste con el caso de, digamos, fijar el peso en 2, pero dejar que el nivel crezca; en ese caso las curvas elípticas dan lugar a eigenformas integrales, y hay hay curvas elípticas de conductor arbitrariamente alto).
La afirmación de que el álgebra de Hecke actúa irreduciblemente sobre $S_k(\Gamma(1))$ se conoce como la conjetura de Maeda, y sigue abierta. Así que una respuesta afirmativa a su pregunta sobre las formas propias con coeficientes enteros proporcionaría una respuesta negativa a la conjetura de Maeda. La negación de tu pregunta -que sólo hay un número finito de eigenformas integrales de nivel 1- es una forma más débil de la conjetura de Maeda, pero que sin embargo me parece muy difícil.
Hay muchas pruebas computacionales que apoyan la conjetura de Maeda, como revelará Google. Por ejemplo, no creo que haya un peso $k$ conocido para el que el operador $T_2$ tiene un polinomio característico reducible (y mucho menos tiene un factor lineal).
Más aún: hay una conjetura de Maeda de que cada T_p actúa irreduciblemente en el espacio de las cuspformas -- ¡y más aún, que el polinomio característico de T_p en el espacio S_k(1) tiene como grupo de Galois el grupo simétrico completo en las letras dim S_k(1)! No puedo decir si hay buenas pruebas para esta conjetura; como dice Emerton, es lo más sencillo que podría ocurrir y nadie puede pensar en una buena razón para que no sea así.
Este es un comentario (demasiado largo) sobre el comentario de Buzzard acerca del comentario de Hida.
Creo que puedo adivinar lo que Hida estaba diciendo. Probablemente se refería a la no evanescencia de las funciones L de las formas propias de Hecke de nivel uno y peso $k \equiv 0$ (mod 4). Esta es una conjetura de larga data (¿folclore?) por derecho propio, bien conocida entre los teóricos analíticos de los números.
He aquí cómo se puede demostrar tal cosa utilizando la conjetura de Maeda. Hay un resultado de Shimura que dice que el grupo de Galois actúa bien sobre los valores centrales (de hecho cualquier valor crítico) de la función L de las formas propias. En particular, si una de ellas es cero, entonces todos los giros de Galois son también cero y, por tanto, su suma también es cero. Ahora bien, aunque puede ser difícil demostrar que una función L no desaparece en el centro, a menudo es fácil demostrar que la suma de los valores centrales de las funciones L de una familia es distinta de cero (véase, por ejemplo, el trabajo de Rohrlich y Rodríguez-Villegas sobre la no desaparición de las funciones L de los caracteres de Hecke).
En el caso en cuestión, la conjetura de Maeda implicará que si un valor L central es cero, entonces la suma de todos los valores L centrales sobre toda la base debe ser cero y creo que se producirá una contradicción después de que uno use la ecuación funcional aproximada para escribir el valor central en términos de los coeficientes de Fourier y luego usando la fórmula de Petersson ( necesito comprobar esto).
Nota 1: Existe un artículo de Conrey y Farmer titulado "Hecke operators and nonvanishing of L-functions" (Ahlgreen et al. (eds.), Topics in Number Theory, 1999) en el que demuestran el resultado anterior siguiendo una línea diferente.
Nota 2: Creo que lo siguiente es más fácil. Se puede pensar en $f\rightarrow L(f,k/2)$ como un funcional lineal en el espacio de las formas de cúspide $S_k(\Gamma(1))$ y de hecho es posible escribir explícitamente una función $G$ tal que
$L(f,k/2)=\langle f,G \rangle$
para toda forma propia de Hecke $f$ en $S_k(\Gamma(1))$ . Ahora el resultado de Maeda + Shimura implicará que $G$ es ortogonal a todo el espacio y, por lo tanto, cero. Así que sólo es cuestión de comprobar que $G$ no es idéntico a cero, lo que no debería ser muy difícil.
"Dijo (y nunca entendí este comentario, así que siéntanse libres de informarme) que el hecho de que S_k(1;Q) sea irreducible como módulo de Hecke estaba relacionado con (¿equivale a?) que cierto valor L no se desvanezca, y los valores L tienden a desvanecerse ocasionalmente cuando se busca lo suficiente."
Discrepo de la impresión de Hida con los valores L que se desvanecen. Para precisar esto, se necesita una declaración de densidad. La tecnología estándar de la función L de las matrices aleatorias debería esperar que no se desvanezca nunca. En la misma línea, Conrey conjetura que los giros cuadráticos de las formas de peso 6+ nunca desaparecen aparte del signo, aunque lo expresa amablemente como "finitamente muchos", como se señaló anteriormente.
http://www.aimath.org/~aimath/WWN/rmtapplications/rmtapplications.pdf
Para el peso 6 tenemos el rango 2 que se desvanece para algunas formas, como enumera Dummigan: 95k6, 122k6, 260k6.
http://neil-dummigan.staff.shef.ac.uk/dsw_13.dvi
Espero que no se desvanezca para el peso 8+. Que yo sepa, no existe ningún desvanecimiento de rango 3 para peso 4+. Lo que recuerdo (Stein 2000) es que, fuera con Gamma1(N), hay una en el nivel 122 (sic, como arriba) forma de peso 2 con signo cuadrático que desaparece hasta el orden 1 sin signo de ecuación funcional autodual (eps = -0,76822128 + 0,6401844i).
Estoy editando esto ahora para explicar los métodos de la función L. La idea de la matriz aleatoria correcta es que los valores L tienen una distribución acumulativa con $\sqrt t$ para los pequeños $t$ . Sin embargo, es probable que no sea necesario.
Para más bien mirar el análogo de BSD. Hay $L(centre)/\Omega$ y el otro lado es hasta pocos factores racionales un número entero. También es un cuadrado. Así que es "como" un cuadrado integral aleatorio hasta el tamaño $\Omega$ como el Tamagawa y la torsión y mucho más pequeño. La "probabilidad" de que una función L (de signo uniforme) desaparezca de forma centralizada puede pensarse como $\sqrt\Omega$ como una probabilidad de que un cuadrado integral aleatorio de tamaño $\Omega$ es 0 es sólo 1 en $\sqrt\Omega$ .
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