¿Cuál es la probabilidad de que Abe va a ganar el juego de dados?

Question

Abe y Bill están jugando un juego. Un dado es lanzado cada turno.

Si al morir tierras 1 o 2, Abe gana.

Si al morir tierras 3, 4, o 5, entonces proyecto de Ley gana.

Si al morir tierras de 6, otra vez se produce.

¿Cuál es la probabilidad de que Abe ganar el juego?

Creo que la probabilidad es $\frac{2}{5}$ simplemente contando el número de maneras de Abe para ganar. No estoy seguro de cómo formalizar esto, sin embargo, en términos de una distribución geométrica.

Answer 1

Estoy de acuerdo con usted en que $\dfrac{2}{5}$ es obvia. Fin de la historia. Pero si usted realmente desea suma de una serie, por abreviar $A$ el evento "$1$ o $2$" e $S$ el evento "$6$." Entonces Abe puede ganar de distintas maneras. Estas son las $A$ (gana inmediatamente), $SA$ (obtener un $6$, luego ganar), $SSA$, $SSSA$, y así sucesivamente.

Estos tienen probabilidades $\dfrac{2}{6}$, $\:\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}$, $\:\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}$, y así sucesivamente. Así que queremos que la suma de la serie $$a+ar+ar^2+ar^3+\cdots,$$ donde$a=\dfrac{2}{6}$$r=\dfrac{1}{6}$.

Por la habitual fórmula para la suma de una serie geométrica infinita, esto es $\dfrac{a}{1-r}$, que se simplifica a $\dfrac{2}{5}$.

Answer 2

Deje $P$ ser la posibilidad de que Abe gana, entonces tenemos

$$P=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}P$$

La solución de P a partir de esta ecuación obtenemos

$$P=\frac{2}{5}$$

Answer 3

Si desea utilizar la serie geométrica, puede hacer lo siguiente.

$$\text{P(Abe wins) = P(Abe wins in the first roll) + P(Abe wins in the second roll) + } \dots$$ $$=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\frac{2}{6} + \left(\frac{1}{6}\right)^2 \frac{2}{6} + \dots$$ $$=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{6}\right)^2 + \dots\right)$$ $$=\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{1}{6}}$$ $$=\frac{2}{5}$$

Answer 4

Estás en lo correcto. Usted puede simplemente ignorar los rollos de $6$ como que te dejan en la misma situación. Para formalizar esto, la posibilidad de Abe gana en la vuelta a $n$ $\frac 13 \left(\frac 16 \right)^{n-1}$ y la probabilidad de que el proyecto de Ley de victorias en la vuelta a$n$$\frac 12 \left(\frac 16 \right)^{n-1}$. Usted puede sumar estos, si quieres.