Una curiosa identidad a partir de diferencias repetidas de potencias enteras

Question

Es un hecho bien conocido que las repetidas diferencias entre $n$ -Potencias de números enteros consecutivos producen eventualmente $n!$ . Por ejemplo, para $n=3$ tenemos \begin{eqnarray} 1, 8 , 27, 64\\ 7, 19, 37\\ 12 , 18\\ 6 \end{eqnarray}

Estas diferencias repetidas pueden resumirse en la identidad $$ n!=\sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} (-1)^{n-k}(k+1)^n. $$

Lo que me intriga es que la identidad parece ser válida incluso cuando se escribe como $$ n!=\sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} (-1)^{n-k}(k+c)^n, $$ donde $c$ es cualquier número complejo ¡!

Me topé con esta identidad por pura casualidad y la comprobé en muchos experimentos numéricos, pero no pude demostrarla hasta ahora. Probablemente me falta algún dato muy básico y me gustaría que alguien me dijera cuál es.

Answer 1

Sólo tienes que reunir tres cosas:

1. Que el $n^{th}$ diferencia repetida de $k^n$ es igual a $n!$
2. Que el $(n+1)^{th}$ y la posterior diferencia repetida de $k^n$ todos iguales $0$ .
3. Que $(k+c)^n$ (gracias al viejo Newton) no es más que una suma de $k^n$ y algunas potencias inferiores de $k$ que todos se desvanecen a $0$ antes de llegar a la $n^{th}$ diferencia repetida.