Prueba de comparación $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1 + \ln(k)}{k}$

Question

$$\sum_{k=1}^{\infty} \,\frac{1 + \ln(k)}{k}$$

Determina si converge o diverge.

No creo que pueda hacer una prueba de comparación de límites porque el $\ln(k)$ me ha hecho un lío. Estoy seguro de que podría hacerlo con la prueba integral, pero creo que también es posible con la prueba de comparación. ¿Podría alguien decirme si es así? Por ejemplo, estoy buscando un $b_k$ valor que es $$0 \leq a_k \leq b_k$$

Mi libro de texto utiliza $b_k = \frac{1}{k}$ pero, ¿cómo se cumple la hipótesis con esto? $$\frac{1+\ln(k)}{k} \,\geq\, \frac{1}{k}$$

Eso está mal, debería ser $a_k \leq b_k$ $\forall n \geq 1$

Answer 1

El libro es correcto. Tenga en cuenta que $1+\log(k)\ge 1$ para todos $k\ge 1$ . Por lo tanto,

$$\frac{1+\log(k)}{k}\ge \frac1k$$

Como la serie armónica diverge, entonces la serie $\sum_{k=1}^\infty \frac{1+\log(k)}{k}$ diverge en comparación. Es decir, la serie de interés domina la serie armónica de divergencia.