Las funciones que toman racionales racionales a

Question

Lo que se sabe acerca de $\mathcal C^\infty$ funciones de $\mathbb R\to\mathbb R$ que tomar siempre racionales a los racionales? Son todos los cocientes de polinomios? Si no, ¿hay alguna que son acotados sin embargo, no tienden a un límite de $x\+\infty$? Si hay, entonces podemos también requieren ser analítica?

(Esto es básicamente un azar reflexionando después me encontré con funciones trigonométricas dos veces en no relacionados de "usar y tirar" contraejemplos. Se me ocurrió que era una especie de conceptual overkill para azotar a cabo una trascendental función de la finalidad que necesitaba: básicamente, que tenía que seguir moviéndose para siempre. Yo no podía pensar en una buena no-trancendental función para hacer este trabajo, sin embargo, y ahora pregunto si eso es debido a que no puede existir).

Answer 1

Ver Felipe Franklin 1925 Trans. AMS papel de la Analítica de las transformaciones de todas partes densas de punto conjuntos. Teorema I en p. 94 de Franklin del papel de los estados:

Para cualquiera de los dos enumerable lineal de punto conjuntos, cada uno en todas partes densa en un intervalo abierto, una analítica de la función se puede encontrar que los mapas de los dos intervalos de una a otra, y los efectos de una correspondencia uno a uno entre el punto de conjuntos.

Creo que Franklin Teoremas II y III pueden ser utilizados para responder a su pregunta, pero no tengo tiempo ahora para pensar en ello.

Para los resultados relacionados con la (algunas de las cuales creo que también puede dirigirse a su pregunta) y referencias adicionales, ver a mis 15 de Marzo de 2002 de la lesión.matemáticas post en el hilo de una pregunta sobre real-funciones analíticas en google sci.matemáticas archivo o Matemáticas Foro sci.matemáticas archivo.

(lo que sigue se agregó 4 días más tarde)

Esta mañana yo estaba en el medio de la preparación de una lista cronológica de las referencias cuando me encontré con el siguiente trabajo de accidente, que tiene en su primer par de páginas de un excelente resumen histórico de los resultados relacionados a sus preguntas.

[William] Stephen Watson y Petr Simon, Abrir los subespacios de contables densos espacios homogéneos, Fundamenta Mathematicae 141 #2 (1992), 101-108. MR 93m:54038; Zbl 770.54017

A continuación están algunas referencias pertinentes sé de que no están en Watson/Simón bibliografía: Cooper (1939), Melzak (1960), Cedro (1987), Omiecinski (1980, 1982, 1983, 1991), y Verde (1939). También, como yo ya había "mirado" los detalles para Morayne (1987) y Melzak (1959) (ambos de los cuales están en Watson/Simón bibliografía), me estoy dejando los de abajo también. Finalmente, pasé algún tiempo en esta mañana de escribir citas de Verde (1939), un papel que no parecen estar disponibles libremente en internet, así que me voy en esas citas así.

Por cierto, respecto a Franklin (1925): En el listado bibliográfico para Franklin 1925 papel en Abraham A. Frankel del libro Abstracto de la Teoría de conjuntos (Franklin papel es citado en una nota de pie de página donde el orden singularidad de contables ilimitado densa lineal órdenes del mismo), Frankel dice para ver H. Minkowski: Kongr. Heidelberg 1904, 171-172, 1905. Este es libremente disponible en internet, pero no sé lo que Minkowski dice o demuestra.

R. Cooper, Transformaciones de enumerable establece que son densos en un intervalo, Revista Trimestral de Matemáticas (Oxford) 10 (1939), 247-251. MR 1,107 c; Zbl 22.21302; JFM 65.0189.01

Zdzislaw Alexander Melzak, la Existencia de ciertos analítica homeomorphisms, Canadá Matemática Boletín 2 #2 (Mayo de 1959), 71-75. MR 21 #4215; Zbl 89.27603

Zdzislaw Alexander Melzak, Un contable de interpolación problema, Actas de la Sociedad Matemática Americana 11 #2 (abril de 1960), 304-306. MR 22 #2599; Zbl 91.04702

Michal Morayne, Medir la preservación de la analítica de diffeomorphisms de contables densa establece en $C^n$ y $R^n,$ Coloquio Mathematicum 52 #1 (1987), 93-98. MR 88f:28015; Zbl 627.28012

Jack Cedro: MR 88g:54040; Zbl 641.54020

Jan Omiecinski: MR 82i:26005 Zbl 485.26007; MR 84k:26021 Zbl 523.26019; MR 85j:26012 Zbl 549.26003; MR 92m:26007

John Willie Green, las Funciones que asume racional de los valores en puntos racionales, Duque Matemática Diario 5 #1 (1939), 164-171. Zbl 20.35202; JFM 65.0327.03

Para lo que vale, el Verde fue Andrew M. Bruckner del Tel. D. asesor. Lo que sigue es la introducción a la Verde del papel.

De las funciones continuas que asumir racional de los valores racionales de los valores del argumento, los ejemplos conocidos son extremadamente regulares, como la racional o trozos funciones racionales, o bien se presentan algunos extremadamente irregular de propiedades. Por ejemplo, las funciones $x(t),$ $y(t)$ la definición de Peano del área de llenado de la curva de asumir racional de los valores racionales $t$ y no están nada derivable. Asimismo, la conocida función definida con respecto a Cantor del ternario conjunto $\frac{1}{2}$ en el medio extraído de un tercero, $\frac{1}{4}$ y $\frac{3}{4}$ en el extraídos del medio tercios de la izquierda y a la derecha los intervalos restantes, respectivamente, etc. puede ser demostrado que asumir racional de los valores racionales de $x.$ Esta función posee un derivado en ningún momento, excepto en los puntos donde es seccionalmente racional. Es deseable, entonces, para investigar qué tipo de funciones puede poseer la propiedad de asumir racional de los valores en puntos racionales, de la propiedad que vamos a denotar por (Un). Por ejemplo, se podría preguntar si la única analítica de funciones con la propiedad (a) son las funciones racionales, o se podría preguntar si es posible que una función existir con la propiedad (A), la función analítica en ningún intervalo y, sin embargo, decir, con un continuo derivado. El autor ha sido informado de que algo de esta naturaleza fue discutido en una conversación entre Weierstrass y de Hilbert y que Hilbert exhibió un ejemplo; sin embargo, no hay registro de la conversación parece ser que existe. Tampoco lo ha hecho el autor ha sido capaz de encontrar el ejemplo mencionado en la literatura, o para descubrir su naturaleza exacta. En consecuencia, algunos de los resultados obtenibles puede ser de suficiente interés para justificar su exposición.

En la siguiente, un racional número complejo es un número complejo tal que tanto en sus partes real e imaginaria son números racionales.

TEOREMA 1. Existen toda funciones que poseen la propiedad (a) con respecto a todos los racionales los números complejos, y que no son funciones racionales.

En la siguiente, racional punto es racional número complejo y las funciones son a partir de $\mathbb C$ a $\mathbb C.$

TEOREMA 2. Deje de $E_1$ y $E_2$ ser cualquier mutuamente disjuntas conjuntos de puntos racionales. Entonces existen funciones analíticas suponiendo racional de los valores en los puntos de $E_1$ y suponiendo racional de los valores en ningún punto de $E_2.$

Deje que $P(z) = a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + \cdots$ convergen para todos los $z \in {\mathbb C}$ y suponga que $P(z)$ posee la propiedad (Una). La pregunta 1 Es posible que por cada $a_{k}$ para ser racional número complejo y $P(z)$ a no ser una función racional? La pregunta 2 Es posible que algunos de los $a_{k}$'s ser irracional?

TEOREMA 3. Las preguntas (1) y (2) anteriores podrán ser respondidas afirmativamente.

En la siguiente, todas las funciones son a partir de $\mathbb R$ a $\mathbb R.$

Definimos una función $f_{n}(x)$ de la siguiente manera. Deje de $S_n$ el conjunto de puntos entre el cero y el uno de la forma $m/(2^{n-1}n!)$ $(m=0,\;1,\;\cdots,\;2^{n-1}n!).$ Deje que $p<q$ dos puntos consecutivos de $S_{n};$ entonces $f_{n}(x)$ es definido por p $\leq x \leq q$ como la función continua de fuga en $p$ y $q$ y con derivados $+1$ para $p < x< \frac{1}{2}(p+q)$ y derivados $-1$ $\frac{1}{2}(p+q) < x < q.$ Entonces $0 \leq f_{n}(x) \leq \left(2^{n}n\right)^{-1},$ y $\Sigma_{1}^{\infty}f_{n}(x)$ converge uniformemente. Definimos $f(x) = \Sigma_{n=1}^{\infty}f_{n}(x).$ Se sigue de bien conocidos principios que $f(x)$ posee una derivada en ningún punto.

(Para esta última pretensión, Verde cites p. 621 de Hobson, La Teoría de Funciones de una Variable Real, 1907.)

TEOREMA 4. Una función de la posesión de bienes (A), con continuas $k$-ésima derivada y con $(k+1)$-th derivado de la nada, se puede obtener mediante la integración de $f(x)$ $k$ veces y restando un polinomio de grado $k,$ posiblemente con irracional de los coeficientes.

Answer 2

Las referencias dadas por Dave Renfro y Cocopuffs no tuve respuesta a mi pregunta, pero no le dio suficiente inspration que creo que la tengo ahora. Después de varias salidas en falso:

Teorema. Existe una analítica de la función $\xi:\mathbb R\a[0,1]$ que

1. $\xi(\mathbb Q)\subseteq \mathbb Q$.
2. $\xi(x)$ no tienden a un límite de $x\to\infty$.

Prueba. Deje de $q_1, q_2, \ldots$ ser un fijo de la enumeración de los racionales. Definir por inducción simultánea de una secuencia de funciones $f_0, f_1, f_2\ldots$ y enteros $m_0<m_1<m_2\cdots$, de la siguiente manera:

Como (más o menos arbitraria) de la base de casos, deje de $f_0(x)=0$ y $m_0=1$.

Para $n\ge 1$, vamos $$h_n(x) = \prod_{i=1}^n(q_n-x) = a_{n0}+a_{n1}x+\cdots+a_{nn}x^n$$ (donde la parte central define los coeficientes de $a_{ni}$ en el lado derecho) y $$ f_n(x) = \frac{h_n(x)}{2^n\Bigr\lceil |a_{n0}|+|a_{n1}|m_{n-1}+\cdots+|a_{nn}|m_{n-1}^n \Bigr\rceil}$$

Tenga en cuenta que $f_n$ es un polinomio con coeficientes racionales y $|f_n(z)|\le 2^{-n}$ para cada complejo a $z$ $|z|\le m_{n-1}$.

Ahora si $n$ es, incluso, le $m_n$ ser el primer entero mayor que $m_{n-1}$ tal que $\sum_{i=0}^{n}f_i(m_n)\ge 2$. Si $n$ es impar, deje de $m_n$ ser el primer entero mayor que $m_{n-1}$ tal que $\sum_{i=0}^{n}f_i(m_n)\le-2$. Dado que el coeficiente inicial de $h_n$ es $(-1)^n$ estas condiciones son siempre cierto para suficientemente grande $m_n$.

Después de definir todos los $f_n$, vamos $$ g(x) = \sum_{i=0}^\infty f_n(x) $$

Propiedades de $g$:

• La suma converge uniformemente en el open de bola $B_{m_n}(0)$ para todo $n$, ya que, excepto por los primeros $$ n términos, cada $f_i$ es absolutamente delimitado por $2^{-i}$, y la suma de estos converge.

• Porque la convergencia uniforme en un subconjunto abierto de $\mathbb C$ conserva analiticidad, $g$ es analítica en todos los $B_{m_n}(0)$ y así en todos los de $\mathbb C$.

• $g$ mapas racionales a los racionales. Para cualquier fijo $q$ hay un número finito de términos en la suma de $g(q)$ antes de cada $f_n(q)$ es cero por construcciones.

• $g(m_1), g(m_2), \ldots$ alternativamente menos de $-1$ y mayor que $1$. Por construcción $\sum_{i=0}^{n} f_i(m_n)$ es de menos de $-2$ o mayor a $2$, y el resto de condiciones en $g(m_n)$ no cambia la suma de más de $1$.

• Por el teorema del valor intermedio hay un cero de $g$ entre cada $m_n$ y $m_{n+1}$.

Por último, vamos a $$ \xi(x) = \frac{g(x)^2}{g(x)^2+1}$$ Entonces $\xi$ es analítica porque $g$ es. Su rango es de trivial en la mayoría de los $[0,1]$. Asigna racionales a los racionales porque $g$.

También, $\xi$ no tienen un límite de $x\to\infty$. Es cero infinitamente a menudo, pero también es, al menos, $\frac12$ cada $m_n$.

Observaciones. La definición de $\xi$ es totalmente constructiva, y $\xi(q)$ puede ser calculado en un número finito de pasos para cualquier $p\in\mathbb Q$.

Por cierto, $\lim_{x\a\infty}\xi(x)=1$, buf si también queremos que la ausencia de límites para $x\a\infty$ considerar $\xi(x^2)$ en su lugar.

Creo que voy a seguir utilizando los senos en "usar y tirar" contraejemplos :-)