Supongamos que $G$ es un grupo de orden $n$ . Sea $p$ y $q$ sean primos distintos que dividen a $n$ . ¿Podemos decir que $G$ tiene un subgrupo de orden $p\cdot q$ ?

Question

Supongamos que $G$ es un grupo de orden $n$ . Sea $p$ y $q$ sean primos distintos que dividen a $n$ . ¿Podemos decir que $G$ tiene un subgrupo de orden $p\cdot q$ ?

Answer 1

No. Por ejemplo $A_5$ es un grupo de orden $60=2^2\times3\times5$ pero si sabes que este grupo es simple entonces puedes comprobar fácilmente que no puede tener ningún subgrupo de orden $15$ .