Ecuación funcional que satisface f(2x)=f(x)

Question

Determinar todas las funciones de los cónyuges $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfaciendo $f\left(2x\right)=f\left(x\right)$

Intento Deja que $a$ y $b$ sean dos puntos distintos en $\mathbb{R}$ . A continuación, considere las secuencias de números reales

$$\{x_n\}=\frac{a}{2},\frac{a}{2^2},\frac{a}{2^3},\frac{a}{2^4} \dots\frac{a}{2^n}$$

$$\{y_n\}=\frac{b}{2},\frac{b}{2^2},\frac{b}{2^3},\frac{b}{2^4} \dots\frac{b}{2^n}$$

Ahora tenemos $$f\left(a\right)=f\left(\frac{a}{2}\right)=f\left(\frac{a}{2^2}\right)=f\left(\frac{a}{2^3}\right) \dots f\left(\frac{a}{2^n}\right) \dots= f\left(0\right)$$

Del mismo modo

$$f\left(b\right)=f\left(\frac{b}{2}\right)=f\left(\frac{b}{2^2}\right)=f\left(\frac{b}{2^3}\right) \dots f\left(\frac{b}{2^n}\right) \dots= f\left(0\right)$$

Por lo tanto, $f\left(a\right)=f\left(b\right)=f\left(0\right)$ Por lo tanto, $f$ es una función constante.

Nótese que utilizamos la continuidad para establecer que $$\lim_{n \to \infty} f\left(x_n\right)=f\left(\lim_{n \to \infty}x\right)=f\left(0\right)$$

Answer 1

Dejemos que $x\ne 0$ . para $n\in\mathbb N,$ $$f (x)=f (\frac {x}{2^n} )$$

$f $ es continua en $0$ y $$\lim_{n\to+\infty}\frac {x}{2^n}=0$$

$$\implies \lim_{n\to+\infty}f (\frac {x}{2^n})=f (0) $$

así

$$(\forall x\in\mathbb R) \;\;f (x)=f (0) $$

Answer 2

No es una respuesta, pero es demasiado larga para un comentario.

Observe que la respuesta sería muy diferente con $f$ continua en todas partes, pero en $x=0$ .

Tenemos (con $\lg x:=\log_2 x$ )

$$f(2^{\lg x+1})=f(2^{\lg x}).$$

Entonces dejemos que

$$g:[1,2]\to\mathbb R:t\to g(t)$$ ser un arbitrario función continua tal que $g(2)=g(1)$ .

Ahora,

$$f(x):=g(2^{\{\lg x\}})$$ es una solución continua para el positivo $x$ (las llaves denotan la parte fraccionaria). Se puede escribir una solución similar para el negativo $x$ .

Un simple ejemplo a continuación: