¿Cómo obtener la función de densidad de probabilidad (FDP) de una variable aleatoria continua a partir de un conjunto de datos?

Question

Me interesa derivar una expresión para la función de densidad de probabilidad (FDP) de una variable aleatoria continua a partir de un conjunto de datos dado. Para explicarlo mejor, consideremos que tenemos los datos del tiempo que pasan los visitantes de una página web durante un periodo de 24 horas. A ciertas horas, por ejemplo durante las horas de mayor afluencia, el tiempo de permanencia en la página web es corto. Sin embargo, por la tarde el tiempo de permanencia es largo. Me gustaría obtener una expresión para la FDP de la variable aleatoria continua X que representa el tiempo pasado por el visitante, como,

$$ f_X(x)= \begin{cases} 24x-x^2, \quad x > 0\\ 0, \quad\quad\quad\quad \text{otherwise.} \end{cases} $$

Esto es sólo un supuesto PDF. He intentado buscar pero no he encontrado una respuesta adecuada a esta pregunta. La mayoría de los libros de probabilidad te enseñan a derivar valores de probabilidad cuando se da una PDF y todo tipo de cosas. Sin embargo, la FDP siempre se da o se supone. Así que mis preguntas son:

1. ¿Siempre asumimos o intentamos asignar una PDF adecuada del conjunto de distribuciones populares, como la gaussiana, la exponencial, la log normal, etc., para un conjunto de datos determinado? En caso afirmativo, ¿hay alguna forma estándar de hacerlo?

2. ¿Es posible obtener una ecuación matemática para la FDP de la variable aleatoria a partir de un conjunto dado de datos de la muestra? En caso afirmativo, ¿cómo podría hacerse? ¿Existe alguna rama de la Estadística y la Teoría de la Probabilidad que se ocupe de esto?

Agradecería mucho cualquier respuesta a estas preguntas. También sería útil que me indicaran algún recurso, libro o capítulo.

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

La pregunta 2) es uno de los campos básicos de investigación de la estadística, en particular muestreo y ajuste de la distribución .

En cuanto a la pregunta 1), existe una plétora de distribuciones, derivadas de un amplio conjunto de escenarios teóricos y aplicativos, que es altamente "improbable" que se necesite una nueva.

Y de hecho su parabólica PDF, que en realidad se leerá como $$ PDF \propto {x \over {24}}\left( {1 - {x \over {24}}} \right) \propto \xi \left( {1 - \xi } \right) $$ es sólo un caso particular de un Distribución Beta .