Duda sobre una propiedad de la ecuación de Laplace

Question

Una de las propiedades de la ecuación de Laplace dice que los máximos y mínimos sólo pueden ocurrir en los límites. Bien, tomemos 2 cargas positivas, una en el origen y la otra $d$ distancia en el $x$ -eje. Así que el potencial entre ellos sería algo parecido a lo que he dibujado en la imagen.

Ahora tomemos una región entre $x=d/3$ y $x=2d/3$ . Ahora aplique la ecuación de Laplace aquí en la región, (ya que no hay carga en esta región), y así los máximos y mínimos del potencial deberían ocurrir en el límite. Pero su máximo ocurre en $x=d/2$ ??

Answer 1

La cuestión es que has aplicado un concepto tridimensional (es decir, la ecuación de Laplace y la caída de potencial con $\frac{1}{r}$ ) a un límite unidimensional, creo. La única solución de la ecuación de Laplace en 1 dimensión son las soluciones de la forma $f = ax+b$ que obviamente satisface las condiciones. Si consideras el potencial en 3 dimensiones, entonces te darás cuenta de que es un punto de silla en $x = \frac{d}{2}$ (o un punto de silla de montar en cuatro dimensiones, ya que tiene $V = V(x,y,z)$ si me entiendes).

Estoy un poco oxidado en electromag, así que podría estar equivocado aquí pero creo que es esto.

Answer 2

(Suponiendo que se refiera al $3$ D y no el $1$ Caso D).

En su ejemplo, $V(r)$ no es un extremo. Coloquemos dos cargas unitarias en $x = \pm d/2$ y mira el potencial resultante $V(x,y)$ (tomando $V(r \to \infty) = 0$ ).

En $x = 0$ el potencial es $V(0,0) = \frac{2}{d} + \frac{2}{d} = \frac{4}{d}$

A lo largo del $x$ eje (cerca de $x = 0$ ), tenemos

\begin{align} V(x=\varepsilon, 0) &= \frac{1}{\frac{d}{2} + \varepsilon} + \frac{1}{\frac{d}{2} - \varepsilon}\\ &= \frac{2}{d} \left(\frac{1}{1 + \frac{2 \varepsilon}{d}} + \frac{1}{1 - \frac{2 \varepsilon}{d}}\right)\\ &= \frac{4}{d} \left(1 + 4 \frac{\varepsilon^2}{d^2} + o\left(\frac{\varepsilon^2}{d^2}\right) \right) > V(0, 0). \end{align}

Pero a lo largo del eje Y, tenemos:

\begin{align} V(x=0, y=\varepsilon) &= \frac{1}{\sqrt{\frac{d^2}{4} + \varepsilon^2}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{d^2}{4} + \varepsilon^2}}\\ &= \frac{4}{d} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4 \varepsilon^2}{d^2}}}\\ &= \frac{4}{d} \left(1 - 2 \frac{\varepsilon^2}{d^2} + o\left(\frac{\varepsilon}{d}^2\right) \right) < V(0, 0). \end{align}

Así que mientras la derivada parcial a lo largo de $x$ y $y$ es efectivamente cero, esto no corresponde ni a un máximo ni a un mínimo de $V$ sino más bien a un punto de ensillamiento.

Answer 3

Estuve confundido sobre esto durante un tiempo vergonzosamente largo hasta que realmente lo grafiqué, y así para complementar la excelente respuesta de @MC2k, aquí hay un pequeño gráfico del potencial de dos cargas puntuales positivas, colocadas en $(0,0)$ y $(5,0)$ .

Como puede ver, aunque existe lo que podría parecer un mínimo a lo largo de la $x-$ (la línea que une las cargas) no hay un mínimo a lo largo del $y-$ eje. Claramente, $V(x,y)$ no tiene máximos ni mínimos locales, y el punto en cuestión es un punto de apoyo .

Answer 4

Otras respuestas han mostrado que el punto en cuestión no es un máximo del potencial como función en tres dimensiones y han insinuado que la razón por la que las cosas salieron mal tiene que ver con la dimensión. Si bien es cierto que el sutil punto de confusión matemática tiene que ver con la dimensión, me gustaría aclarar que el teorema pertinente, conocido como el principio del máximo, se mantiene perfectamente. Afirma:

Si $U \subset \mathbb{R}^n$ está abierto y $u: U \to \mathbb{R}$ es un solución (clásica) a la $n$ -ecuación de Laplace en una dimensión $\Delta u = 0$ , entonces para cualquier conjunto precompacto $V \subset U$ La restricción de $u$ a la cierre de $V$ alcanza sus valores máximos y mínimos en (y sólo en, siempre que $u$ no es constante) el límite $\partial V$ .

Ha observado que el potencial $u$ generado por las dos cargas en el conjunto abierto $U = \mathbb{R}^3 \backslash \{(0,0,0),(d,0,0)\}$ es efectivamente una solución (clásica) de la ecuación de Laplace en tres dimensiones en su dominio, y estás tratando de sacar una conclusión sobre los extremos de $u$ cuando se restringe al conjunto compacto $V= \{(x,0,0) \; | \; d/3 \leq x \leq 2d/3\} \subset U$ .

Entonces se aplica el teorema, y su conclusión es que el máximo de la restricción de $u$ a $V$ se consigue en $\partial V$ debe aguantar. ¿Qué es lo que se cumple? Observa que hemos aplicado el teorema en el espacio ambiente con $n=3$ y así $\partial V$ se refiere al límite del conjunto en $\mathbb{R}^3$ . Matemáticamente, el límite se define como $\overline{V} \backslash V^\circ$ el cierre de $V$ eliminar su $3$ -dimensional interior. Pero $V$ es cerrado y, siendo un segmento de línea, $V$ no tiene $3$ -interior, por lo que de hecho $\partial V = \overline{V} = V$ . Por lo tanto, el teorema, aunque es aplicable y verdadero, no nos da ninguna información porque hemos elegido un conjunto demasiado pequeño para aplicarlo: sólo afirma que el mayor valor $u$ asume $V$ se consigue en algún punto de $V$ . El conjunto de interés debe tener un interior, un cierto "margen de maniobra", para que el principio de máxima produzca información no trivial.

Se podría adoptar una perspectiva alternativa y decir que estamos identificando el $x$ -eje con $\mathbb{R}$ y considerando el potencial $u$ como una función en $U = \mathbb{R} \backslash \{0,d\}$ . Ahora el conjunto de interés $V = [d/3,2d/3] \subset U$ es de nuevo un subconjunto compacto de este espacio unidimensional, y su límite $\partial V$ es legítimamente los dos puntos $\{d/3, 2d/3\}$ . Sin embargo, las hipótesis del teorema ya no se satisfacen (y por lo tanto la conclusión no tiene por qué aplicarse) porque ahora estamos trabajando en $n=1$ pero $u$ no es una solución del $1$ -ecuación de Laplace en una dimensión $\frac{d^2 u}{dx^2} = 0$ .