Operación sobre el espacio de Baire $\omega^\omega$ que preserva los conjuntos de Borel

Question

Tenemos la siguiente operación sobre secuencias de números naturales (elementos de $\omega^\omega$ ): $$\begin{align}*:\omega^\omega\times\omega^\omega &\longrightarrow \omega^\omega\\ (x,y) &\longmapsto x*y\end{align}$$ con $$x*y(n) = \begin{cases} x(k) & \text{if }n = 2k \\ y(k) & \text{if }n = 2k+1 \end{cases}$$ Así que $*$ fusiona dos secuencias. Mi pregunta es si esta operación preserva los conjuntos de Borel, es decir si se da $A,B \in \mathcal{B}(\omega^\omega)$ entonces $A*B = \{x*y \mid x \in A, y \in B\} \in \mathcal{B}(\omega^\omega)$

Kechris en su Teoría descriptiva clásica de conjuntos Al hablar del Juego de Wadge, menciona indirectamente este hecho sin demostrarlo. Es evidente que $*$ es continua, pero además de esto no soy capaz de demostrar la afirmación. ¿Alguna ayuda?

Gracias.

Answer 1

$*$ es un homeomorfismo, y si $A$ y $B$ son subconjuntos de Borel de $\omega^\omega$ entonces $A\times B\subseteq \omega^\omega\times \omega^\omega$ es Borel, por lo que $*$ preserva los conjuntos de Borel.

Answer 2

El mapa $* : \omega^\omega \times \omega^\omega \to \omega^\omega$ es de hecho un homeomorfismo y por tanto un isomorfismo de Borel. En particular, los conjuntos de Borel de la forma $A \times B$ para $A, B \in \mathcal B(\omega^\omega)$ son mapeados a conjuntos de Borel.

La biyección está clara, ya que sólo se están entrelazando dos secuencias. En el caso de la inversa continua, hay que tener en cuenta que si se quiere determinar la exactitud del dominio hasta digamos $N$ bits en cada coordenada, entonces simplemente necesita $2N + 1$ de información en la gama.