Nullstellensatz para el anillo de coordenadas

Question

Intento demostrar que si E es un conjunto algebraico irreducible, y dado cualquier ideal A $\in$ $k[x_1,..,x_n]/I(E)$ definiendo V(A) = {x $\in$ E st f(x)=0 $\forall$ f $\in$ A, se tiene {f $\in$ $k[x_1,..,x_n]/I(E)$ st f(x)=0 $\forall$ x $\in$ V(A)} = rad(A).

Sé que un ideal en el anillo cociente es radical si su contracción es radical, así que estoy tratando de demostrar que, si B es la contracción de A, I(V(B)) + I(E) = I(V(A)), pero no sé cómo hacerlo. Gracias.

Answer 1

Esto se desprende de las definiciones de una manera bastante sencilla, después de darse cuenta de qué es qué.

Una función polinómica $\bar{f}$ en $E$ puede tratarse como el coset $f+I(E)$ para algún polinomio $f$ . Entonces la función $\bar f$ tiene cero en un punto $p \in E$ si $f(p)=0$ (nótese que esto no depende de la elección del representante). De ello se desprende que $V(B)=V(A)$ (si se consideran conjuntos dentro de $\mathbb{A}^n$ ). Ahora, utilizando la misma observación/definición, vemos que

• funciones en $I(V(A))$ son todos de la forma $\bar f$ , para $f \in I(V(B))$ . Es decir, $I(V(B))/(I(E)) \supseteq I(V(A)),$

• por otro lado, siempre que $f \in I(V(B)),$ entonces, trivialmente, $\bar f=f+I(E) \in I(V(A)).$ Eso es, $I(V(B))/(I(E)) = I(V(A)).$