Norma de Frobenius y traza

Question

Dada una matriz real, simétrica y definida positivamente G tenemos:

Norma de Frobenius de G = [traza(GG')]^1/2

G' = matriz transpuesta de G

Tengo que demostrarlo:

Norma de Frobenius de G = traza[(GG')^1/2]

¿Podría alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

$$G=UDU^T$$ $$GG'=UD^2U^T$$

$$(GG')^\frac12=UDU^T=G$$

Por lo tanto, $$\operatorname{trace}((GG')^\frac12)=\operatorname{trace}(G)=\operatorname{trace}(D)=\sum_{i=1}^nd_{ii}$$ pero $$\operatorname{trace}(GG')=\sum_{i=1}^n d_{ii}^2$$ por lo que $$\left( \operatorname{trace}(GG')\right)^\frac12=\sqrt{\sum_{i=1}^n d_{ii}^2}$$

pero sabemos que $1$ -normas son $2$ -normas no tienen por qué ser iguales.

Ejemplo de contraejemplo:

$$G = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$