Forma canónica jordana para una matriz de 8x8.

Question

Esta es una de las preguntas preliminares con las que estoy teniendo problemas. También necesito algunos ejemplos de Jordan Canonical similares a la siguiente pregunta. Gracias por adelantado.

Necesitamos encontrar una forma canónica de Jordan para una matriz A de 8x8 tal que $(A-I) $ tiene la nulidad 2, $(A-I)^2 $ tiene nulidad $4$ , $ (A-I)^k $ tiene nulidad $5$ para $ k \ge 3 $ y $(A+2I)^j $ tiene nulidad $3$ para $ j \ge 1 $

Sólo sé que A tiene $2$ Bloques de Jordan para el valor propio $1$ desde $\dim(\operatorname{ker}(A-I))=2$ y $3$ Bloques de Jordan para el valor propio $-2$ . Necesito ayuda para entender esta pregunta. Gracias.

Answer 1

Hasta ahora, sabes que el valor propio $1$ tiene multiplicidad cinco y el valor propio $-2$ tiene multiplicidad $3$ . Esto le indica que el tamaño total de los bloques Jordan correspondientes a $1$ es cinco y el tamaño total de los bloques de Jordan correspondientes a $-2$ es tres.

Veamos $-2$ primero. Dado que la nulidad de $A + 2I$ es tres, sabemos que la multiplicidad geométrica de $-2$ es tres. Recordemos que la multiplicidad geométrica es el número de bloques de Jordan correspondientes a ese valor propio. Hay tres bloques para $-2$ con un tamaño total de tres, por lo que la única opción que tenemos es que los tres bloques sean triviales.

Ahora para el valor propio $1$ sabemos que la multiplicidad geométrica es dos. Por lo tanto, habrá dos bloques de Jordan. Los bloques deben sumar cinco, por lo que las posibilidades son

1. Un bloque de tamaño uno y un bloque de tamaño cuatro
2. Un bloque de tamaño dos y un bloque de tamaño tres

El punto en el que sus eigenspaces generalizados se estabilizan (dejan de aumentar de tamaño) es la longitud de su cadena más larga. Su matriz se estabiliza en $k = 3$ y así su cadena más larga es de longitud tres. Correspondientemente, el tamaño de su bloque más largo es tres y, por tanto, debemos optar por la opción 2. Hay un único bloque de Jordan de tamaño tres y un bloque de Jordan de tamaño dos correspondiente al valor propio $1$ .