¿Por qué ampliar una onda cuadrada en una serie de Fourier?

Question

El periódico de onda cuadrada $$ f(x) = \cases{ 1 \text{ if } 0 \le x \le \pi \\ 0 \text { if } -\pi \le x < 0} $$ parece bastante fácil trabajar con. ¿Por qué la transforman en una serie de senos y cosenos?

Estoy escribiendo para llevar a casa bono de problemas para mi Cálculo II de la clase. Sé que uno de mis estudiantes interesados en serie de Fourier y es relevante para muchos otros, estoy seguro, así que uno de los problemas es una fácil expansión de Fourier de la onda cuadrada. Me gustaría incluir en la introducción por qué alguien podría dar una aparentemente simple función como esta en una infinita suma de funciones trigonométricas.

Answer 1

Desde el aplicado lado, uno podría decir que la motivación se encuentra en tratar de resolver algunas ecuaciones diferenciales parciales como la difusión de ecuaciones o ecuaciones de onda.

Por ejemplo, la difusión de calor a lo largo de una varilla puede ser modelado como $$u_t = c^2u_{xx} \quad (*)$$ donde $u(x,t)$ es la temperatura en la posición $x$ de la varilla en el tiempo $t$. Estamos dada la distribución inicial de calor: es decir, en $t=0$, $u(x,0) = f(x)$. Queremos encontrar una solución a $(*)$.

Una forma común de resolver esto implica la escritura de $u$ (Fourier) de la serie. En particular, si $f(x)$ puede ser escrito como $\sum_{k=1}^\infty a_k \sin(kx)$, entonces uno tiene que $$u(x,t) = \sum_{k=1}^\infty a_k\sin(kx)e^{-k^2t}$$ is indeed the solution to $(*)$. Notice that even when $f(x)$ is as simple as the one you've given, $(*)$ es todavía difícil de resolver sin el uso de series de Fourier.

(Descargo de responsabilidad: por supuesto, técnicamente debería ser cuidadoso acerca de las condiciones de contorno de las ecuaciones diferenciales y sobre la convergencia de la secuencia. Yo simplificado enormemente las cosas ya que sólo estamos tratando de tener una motivación.)

Answer 2

Sin duda hay muchos lugares dentro de las matemáticas, donde la serie de Fourier / transformar sería útil. También me gustaría mencionar que es un gran componente de práctica para muchas áreas, una en particular es el procesamiento digital de la señal. La onda cuadrada mencionó usted, literalmente, puede ser escuchado como un sonido que se reproduce a lo largo del tiempo (es decir, la señal representada en el dominio del tiempo). Lo que si desea almacenar ese sonido en un equipo? Y puede hacerlo sin utilizar demasiado espacio? Calcular la serie de Fourier / transformación para la onda cuadrada permite dividirlo en una serie de frecuencias (es decir, la señal representada en el dominio de la frecuencia). Esto conduce a interesantes formas de almacenar y comprimir la información de audio. (Un ejemplo muy simple: la visualización de una señal en el dominio de la frecuencia hace que sea fácil para cortar las frecuencias inaudibles para el oído humano, la reducción de tamaño de archivo, posiblemente, a costo de la calidad.)

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Answer 3

Aquí están dos de las aplicaciones de tal desarrollo. Con el fin de simplificar los asuntos considero que el siguiente impar función periódica: $$f(x):=\cases{-1\quad&$(-\pi<x<0)$\cr 1\quad&$(0<x<\pi)$\cr f(x+2\pi)\quad&(todos los $x$) .\cr}$$ Esta $f$ puede ser desarrollado en una sinusoidal de la serie del formulario $\sum_{k=1}^\infty b_k\>\sin(k t)$ con $$b_k={2\over\pi}\int_0^\pi f(t)\>\sin(kt)\ dt=\cases{{4\over\mathstrut \pi k}\quad&($k$ odd)\cr 0&($k$ even) ,\cr}$$ y es representado por esta serie en todos los puntos de continuidad. En particular tiene $$1=f\left({\pi\over2}\right)={4\over\pi}\sum_{k\geq 1\ {\rm odd}}^\infty{\sin(k\pi/2 )\over k}={4\over\pi}\left(1-{1\over3}+{1\over 5}-{1\over7}+\ldots\right)\ ,$$ a partir de la cual podemos obtener inmediatamente el famoso $$1-{1\over3}+{1\over 5}-{1\over7}+\ldots={\pi\over 4}\ .$$ Cuando la fórmula de Parseval $${1\over4}|a_0|^2+{1\over2}\sum_{k=1}^\infty\bigl(|a_k|^2+|b_k|^2\bigr)={1\over 2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(t)|^2\ dt\tag{1}$$ está disponible se puede obtener un efecto más espectacular resultado. En nuestro caso, la fórmula $(1)$ da $${1\over2}\sum_{k\geq 1\ {\rm odd}}^\infty{16\over\pi^2 k^2}={1\over 2\pi}\cdot 2\pi=1\ ,$$ así que $$\sum_{k\geq 1\ {\rm odd}}^\infty{1\over k^2}={\pi^2\over 8}\ .$$ De ello se sigue que $$\zeta(2):=\sum_{k=1}^\infty{1\over k^2}=\sum_{k\geq 1\ {\rm even}}^\infty{1\over k^2}+\sum_{k\geq 1\ {\rm odd}}^\infty{1\over k^2}={1\over4}\zeta(2)+{\pi^2\over 8}\ ,$$ que finalmente da $\ {\displaystyle\zeta(2)={\pi^2\over 6}}$.

Answer 4

Un $caveat$: la función dada no es periódico, así que no hay series de Fourier se puede calcular directamente. Se introduce un periódico de extensión, digamos, $\hat{f}$ $f$ y se aplica la serie de Fourier de la teoría, en lugar. Si consideramos que la función (o "señal")

$$f(x)=1,~~x\in[0,\pi]$$

a continuación, pares / impares $2\pi$-periódico de onda cuadrada de extensiones. Ahora bien, dado el elegido periódico extensión de $\hat{f}$ $f$ considera que su serie de Fourier debido a que la serie en sí misma es sólo una combinación lineal de muy simple de funciones periódicas, y la función de $\hat{f}$ es totalmente caracterizado por el conjunto de los "números" llamados coeficientes de Fourier, y su periodo.

Esta notable propiedad se vuelve aún más importante cuando se trata con (arbitrariamente) el complejo de funciones periódicas. Teniendo en cuenta que las ondas cuadradas son muy comunes en la ingeniería, la sobre simplificación se convierte en relevante. Como en la mayoría de las aplicaciones se puede considerar $de facto$ un subconjunto finito de todos los coeficientes de Fourier de una función dada, la ganancia en la manipulación de la serie de Fourier se hace aún más evidente.