Supongamos que el papel $d$ dados. Dejemos que $X, Y$ sean variables aleatorias, donde
$X = \#$ tirado por el dado con el valor más alto.
$Y = \#$ tirada por el dado con el segundo valor más alto.
Por convención, permitimos la posibilidad de que $X=Y$ en caso de que más de un dado tenga el mismo valor (por ejemplo, en un escenario en el que dos dados sacan un $6$ y $(d-2)$ los valores de las tiradas de dados son inferiores a $6$ ).
Queremos encontrar la función de masa de probabilidad $P(X=x, Y=y)$ . Claramente, $y \le x$ Así se eliminan algunos casos.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & x = 1 & x = 2 & x = 3 & x= 4 & x = 5 & x=6 \\ \hline y = 1 & & &\\ \hline y = 2 & 0 & &\\ \hline y = 3 & 0 & 0 &\\ \hline y = 4 & 0 & 0 & 0\\ \hline y = 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline y = 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline \end{array}
Básicamente queremos completar esta tabla. Puede haber muchas formas elegantes de hacerlo, pero sólo he pensado en contar los resultados. Por ejemplo, sólo hay un resultado tal que $P(X=1, Y=1)$ , es decir, el caso en el que todos los dados tienen el valor $1$ . Esta probabilidad es $\displaystyle \frac{1}{6^d}$ (a menos que esté haciendo algo terriblemente mal). Por lo tanto:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & x = 1 & x = 2 & x = 3 & x= 4 & x = 5 & x=6 \\ \hline y = 1 & \displaystyle \frac{1}{6^d} & &\\ \hline y = 2 & 0 & &\\ \hline y = 3 & 0 & 0 &\\ \hline y = 4 & 0 & 0 & 0\\ \hline y = 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline y = 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline \end{array}
Por supuesto, esta era la parte fácil. Ahora, para calcular $P(X=2, Y=1)$ consideramos los resultados en los que un dado tiene valor $2$ y todos los demás tienen valor $1$ . Ahora bien, esta parte es la que no tengo clara (no soy muy bueno -o sea, terrible- para contar argumentos). Mi idea es que como tenemos $d$ dados hay $d$ para nosotros conseguir un dado tiene valor $2$ y todos los demás tienen valor $1$ . Así que eventualmente $P(X=2, Y=1) = \displaystyle \frac{d}{6^d}$ . Esta es la misma probabilidad $P(X=3, Y=1)$ , $P(X=4, Y=1)$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & x = 1 & x = 2 & x = 3 & x= 4 & x = 5 & x=6 \\ \hline y = 1 & \displaystyle \frac{1}{6^d} & \displaystyle \frac{d}{6^d} & \displaystyle \frac{d}{6^d}& \displaystyle \frac{d}{6^d} & \displaystyle \frac{d}{6^d} & \displaystyle \frac{d}{6^d}\\ \hline y = 2 & 0 & &\\ \hline y = 3 & 0 & 0 &\\ \hline y = 4 & 0 & 0 & 0\\ \hline y = 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline y = 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline \end{array}
Por último, para considerar un caso más difícil, algo así como $P(X=4, Y=3)$ . Este es el evento en el que un dado tiene valor $4$ uno tiene valor $3$ y el resto puede tener cualquier valor entre $\{1, 2, 3\}$ . Hay $d$ formas de conseguir un $4$ en uno de los dados, $(d-1)$ formas de conseguir un $3$ (ya que un dado debe ser un $4$ ) y $3^{(d-2)}$ posibilidades para los dados restantes. Así que la probabilidad es finalmente $\displaystyle \frac{d(d-1)3^{d-2}}{6^d}$ .
¿Son correctos estos argumentos de recuento (o, para el caso, mi enfoque propuesto) o me estoy perdiendo algo en este proceso? Se agradecen todos los comentarios.
