Resolver $ x^2 \equiv 3 \pmod {10007}$ utilizando la reciprocidad cuadrática

Question

Estoy tratando de encontrar si hay una solución a:

$$ x^2 \equiv 3\pmod {10007}$$

Así que usé la reciprocidad cuadrática y encontré

$$ \left( \frac{3}{10007}\right) \left( \frac{10007}{3}\right) = (-1)^{\frac{10007-1}{2}}(-1)^{\frac{3-1}{2}} = (-1)\cdot (-1) = 1$$

Queda por resolver $x^2 \equiv 10007 \equiv 2 \pmod 3$ . No tiene soluciones. Así que $$ \left( \frac{10007}{3}\right) = -1$$ Por lo tanto, $$ \left( \frac{3}{10007}\right) = -1$$ Eso sería encontrar si no fuera porque encontré dos xoluciones: $x = 1477$ o $8530$ y lo verificamos con la calculadora: $$ 1477^2 - 3 = 10007 \times 218 $$ ¿He hecho algo mal?

Answer 1

La reciprocidad cuadrática es:

$$\left(\frac p q\right)\left( \frac q p\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$$

Pero lo has calculado incorrectamente como:

$$\left(\frac p q\right)\left( \frac q p\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}(-1)^{\frac{q-1}{2}}$$

Esos lados derechos no son equivalentes.