Verdadero/falso : Si cada $f_n$ es semicontundente superior, entonces $\sum_{n=1}^{\infty} f_n$ es semicontinuo superior

Question

Dado $\{f_n\}$ es una secuencia de funciones reales no negativas sobre $\mathbb{R}^1$

¿La siguiente afirmación es verdadera/falsa?

Si cada $f_n$ es semicontundente superior, entonces $\sum_{n=1}^{\infty} f_n$ es semicontinuo superior

Mi intento : Creo que esta afirmación es cierta porque $\{\sum_{=1}^{\infty}f_n <\alpha\}=\{f_1+f_2+......+f_n <\alpha\}= \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} ( \{x |f_1 < r\} \cap\{ x | f_2 < \alpha - r\}.......\cap \{x|f_n < \alpha -r\} \cap .....$

ya que la unión contable de conjuntos abiertos es abierta, por lo que concluimos $\{ x |\sum f_n < \alpha\}$ es un conjunto abierto para todos $\alpha \in \mathbb{R}$

Por lo tanto, $\sum_{n=1}^{\infty} f_n$ es semicontundente superior

Answer 1

Esto es falso. Existen funciones continuas $g_n$ convergiendo puntualmente a $\chi_{(0,1)}$ . Sea $f_1=g_1$ y $f_n=g_n-g_{n-1}$ para $n \geq 2$ . Entonces, cada $f_n$ es continua, por tanto, semicontinua superior, pero $\sum f_n= \chi_{(0,1)}$ . Desde $\{x: \chi_{(0,1)} <\frac 1 2\} =\mathbb R \setminus (0,1)$ no está abierto se deduce que $\sum f_n$ no es semicontinuo superior.

Construcción de $(g_n)$ : Dejemos que $g_n(x) =0$ para $x \geq 0$ así como para $x \geq 1$ y $g_n(x)=1$ para $\frac 1 n \leq x \leq 1-\frac 1n$ . Sea $g_n$ tienen una gráfica de línea recta en los intervalos $[0,\frac 1n]$ y $[1-\frac 1n ,1]$ . Entonces $g_n$ son continuas y convergen a $\chi_{(0,1)}$ en cuanto a los puntos.

Answer 2

No entiendo su prueba. Por ejemplo, no puedo entender cómo una suma infinita se convirtió en una finita en su primera igualdad.

De todos modos, no puedes demostrarlo, ya que la afirmación es falsa. Dejemos que $\{r_n\mid n\in\Bbb N\}$ sea una enumeración de $\Bbb Q$ y, para cada $n\in\Bbb N$ , dejemos que $f_n$ sea la función característica de $\{r_n\}$ (es decir $f_n(x)=1$ si $x=r_n$ y $f_n(x)=0$ en caso contrario). Entonces, cada $f_n$ es semicontinuo superior, pero $\sum_{n=1}^\infty f_n$ (que es $\chi_{\Bbb Q}$ ) no lo es.