El escalar de Ricci de las cuatro dimensiones Métrica de Reissner-Nordström es igual a cero. En el caso de la métrica de Reissner-Nordström de cinco dimensiones, el escalar de Ricci es diferente a cero?
Respuesta
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Sí. El campo electromagnético es distinto de cero, por lo que el tensor tensión-energía es igual a $\frac{1}{2}F_{ac}F^{c}{}_{b}- \frac{1}{8}g_{ab}F^{cd}F_{cd}$ . Y, por supuesto, $8\pi G T_{ab} = R_{ab} -\frac{1}{2}Rg_{ab}$
EDIT: para aclarar, en el espaciotiempo de riessner-Nordstrom, tienes $g_{ab} = {\rm diag} (-\Delta, \frac{1}{\Delta}, {\rm sphere\; metric})$ y $F_{ab} = f(r)\left(dtdr - drdt\right)$ . Mientras tanto, se contrae la ecuación de Einstein, y se obtiene $$R - (d/2)R = 8\pi G\left(\frac{1}{2}F^{ab}F_{ab} - (d/8)F^{ab}F_{ab}\right)$$
Por lo tanto, se obtiene
$$R = \frac{2\pi G(4-d)}{2-d}F^{ab}F_{ab}$$
Por lo tanto, TODAS las soluciones de electrovac tienen un escalar de ricci evanescente sólo en cuatro dimensiones. En dimensiones superiores $F_{ab} \neq 0$ Así que $R\neq 0$
