Subespacios cerrados de espacios vectoriales

Question

Pregunta: En el Análisis Funcional podemos notar cosas como: cada subespacio cerrado de un espacio Banach es Banach. En este caso, ¿qué significa "subespacio cerrado"?

• ¿Significa esto que está cerrado bajo la topología de la norma?
• ¿O significa cerrado en el sentido de que la multiplicación de escalares y la suma de vectores está cerrada?
• ¿O esto significa cerrado con respecto a los límites?

Estoy revisando este material y me di cuenta de que aunque tengo esto en mis notas varias veces no estoy seguro de lo que es en realidad. Pensé que era la segunda afirmación anterior, pero la tercera afirmación hace que la afirmación "todo subespacio cerrado de un espacio de banquisa es de banquisa" sea fácil de probar.

Answer 1

"¿Significa esto que está cerrado bajo la topología de la norma?"

Sí, eso es lo que significa.

"¿O significa cerrado en el sentido de que la multiplicación de escalares y la suma de vectores es cerrada?"

No, eso es lo que significa "subespacio" aquí. (Como dice user1736, a veces la gente escribe "subespacio lineal" para enfatizar, pero en el análisis funcional es generalmente seguro asumir que "subespacio" significa "subespacio lineal").

"¿O esto significa cerrado con respecto a los límites?"

De nuevo sí, porque es una caracterización equivalente de los subespacios cerrados de un espacio topológico. Dado que un espacio de Banach es metrizable y, por tanto, contable en primer lugar, basta con tomar los límites de las secuencias. Para un espacio topológico general -e incluso para algunos espacios vectoriales topológicos que no son de Banach- para mantener esta equivalencia, hay que permitir límites de redes .

Answer 2

Sólo es una coincidencia.

La teoría popular actual sobre la formación de la Luna es que un objeto del tamaño de Marte impactó de refilón contra la Tierra en las últimas fases del proceso de construcción del planeta. Esto causó la ruptura del impactador y los restos del impactador y de la proto-Tierra fueron lanzados a la órbita para luego coalescer en la Luna. Así que el tamaño de la Luna resulta ser aleatorio.

Además, la Luna se formó más cerca de la Tierra y, debido a las interacciones de las mareas, se está alejando lentamente. Con el tiempo (tiempo astronómico, millones y millones de años) aparecerá cada vez más pequeña en el cielo. Seguirá siendo más o menos del tamaño del Sol, pero los eclipses solares totales serán cada vez más raros (serán cada vez más anulares o parciales). En el pasado era más grande y los eclipses totales eran más largos y frecuentes.