Utilizando el Teorema de Green para calcular la circulación en sentido contrario a las agujas del reloj

Question

Utilizando el Teorema de Green, calcule la circulación en sentido contrario a las agujas del reloj de $\mathbf F$ alrededor de la curva cerrada C. $$\mathbf F = (-y - e^y \cos x)\mathbf i + (y - e^y \sin x)\mathbf j$$ C es el lóbulo derecho del lemnisco $r^2 = \cos 2\theta$

Necesito ayuda para empezar esta pregunta. Ya conozco la fórmula del Teorema de Green, pero cómo puedo plantear esto para poder aplicar esa fórmula.Gracias

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=1 \tag 1$$

Ahora, ¿cuál es el área encerrada por $C$ ?

ALERTA DE SPOILER: Desplácese por la zona resaltada para ver la solución

Tenga en cuenta que tenemos $$\frac{\partial F_y}{\partial x}=-e^y\cos(x)$$ y $$\frac{\partial F_x}{\partial y}=-1-e^y\cos(x)$$ Así, tomando la diferencia, obtenemos el resultado en $(1)$ . Entonces, a partir del Teorema de Green $$\begin{align}\oint_C (F_x\,dx+F_y\,dy)&=\iint_S \left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\,dx\,dy\\\\&=\iint_S (1)\,dx\,dy\\\\&=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\int_{0}^{\sqrt{\cos(2\theta)}} r\,dr\,d\theta\\\\&=\frac12 \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos(2\theta)\,d\theta\\\\&=\frac12\end{align}$$

Answer 2

$A(C)=2\int_0^{\pi/4}\int_0^{\sqrt{cos2\theta}}rdrd\theta.$ Esta integral es fácil de calcular