Solución débil de una EDP no lineal

Question

Dejemos que $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ es un dominio acotado con frontera suave.Demuestre que existe una constante positiva $\epsilon_0$ de modo que para todos los números reales $\epsilon<\epsilon_0$ y $f\in L^2(\Omega)$ existe un único $u\in H_0^1(\Omega)$ para que

\begin{equation} -\Delta u+\epsilon \sin u=f \end{equation} en el sentido de la distribución.

Para la parte de la unicidad podemos utilizar el método de la energía, basta con restar dos ecuaciones de diferentes soluciones débiles y luego multiplicar ambos lados $\varphi_\epsilon *u$ No estoy seguro de que funcione.

No tengo ni idea de la parte de la existencia, sé que algunos métodos de análisis funcional como el teorema de representación de Riesz pueden tratar con ecuaciones lineales, pero ¿cómo resolver ecuaciones no lineales? ¿Hay algún buen libro que ofrezca una introducción a las ecuaciones no lineales? (Estoy familiarizado con el análisis real y el análisis funcional)

Answer 1

En la formulación débil, se puede reescribir el problema en $X=H_0^1(\Omega)$ en la forma $$J(u)+\varepsilon G(u)=F$$ donde $J,G\colon X\to X^*\cong X$ y $F\in X^*\cong X$ se definen por $\langle J(u),v\rangle=-\int_\Omega\nabla u\nabla v$ , $\langle G(u),v\rangle=\int_\Omega\sin u v$ y $\langle F,v\rangle=\int_\Omega fv$ respectivamente.

Ahora se puede mostrar:

1. $J$ es un isomorfismo (esto se deduce de la teoría del espacio lineal de Hilbert).
2. $G$ es Lipschitz (esto se deduce del hecho de que $\sin$ es globalmente Lipschitz).

Después de reescribir la ecuación en la forma $u=J^{-1}(-\varepsilon G(u)+F)$ se tiene ahora un problema de punto fijo, y para $\varepsilon<\lVert J^{-1}\rVert/L$ con $L$ siendo la constante de Lipschitz de $G$ el operador del lado derecho es una contracción. La existencia y la unicidad se derivan de Banach-Caccioppoli.

Si sólo le interesa la parte de la existencia, observe que $G$ y por tanto el operador del lado derecho son compactos, continuos y acotados, y se puede aplicar el teorema del punto fijo de Schauder.

El campo del análisis no lineal es amplio. Probablemente una de las mejores (pero muy completa) panorámicas es la monografía de Deimling "Nonlinear Analysis".