Conjugado de la norma absoluta

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow[-\infty,\infty]$ sea una función continua. El conjugado convexo de $f$ es:

$$f^*(p) := \sup_{x\in\mathbb{R}}\{px-f(x)\}~.$$

Además, definamos la subderivada $\partial f(a)$ de $f$ en $a$ :

$$\partial f(a) := \{y\in[-\infty,\infty]: f(x)-f(a)\ge y(x-a)\}~.$$

I descubierto que para $f(x)=|x|$ :

$$ f^*(p) = \begin{cases} 0 & \text{for } |p|\le 1\\ \infty &\text{else}.\end{cases} $$

¿Cómo podemos demostrarlo?

Answer 1

Si $|p|\leq 1$ entonces $p-1\leq 0$ así que $\sup_{x\geq 0}\{px-f(x)\}=\sup_{x\geq 0}\{px-x\}=\sup_{x\geq 0}\{(p-1)x\}$ y $(p-1)x\leq 0$ así que $\sup_{x\geq 0}\{px-f(x)\}=0$ , y como $p+1\geq 0$ tenemos $\sup_{x\leq 0}\{px-f(x)\}=\sup_{x\leq 0}(p+1)x=0$ así que $f^*(p)=0$ .

Si $p>1$ entonces $\sup_{x\geq 0}\{px-f(x)\}=\sup_{x\geq 0}\{px-x\}=+\infty$ desde $p+1\geq 0$ .

Si $p<-1$ entonces por un argumento similar $\sup_{x\leq 0}\{px-f(x)\}=+\infty$ .