validez a priori de $W=\int Fdx$ en la relatividad?

Question

Hay muchas maneras diferentes de llegar a las relaciones relativistas que implican la masa, la energía y el momento, tales como $E=mc^2$ y $m^2=E^2-p^2$ (este último con $c=1$ ). Una que he visto en algunos libros de texto es comenzar con la ecuación $W=\int F dx$ para trabajos mecánicos. He aquí una versión particularmente cuidadosa y rigurosa, que hace explícito que se trata de una suposición no trivial, junto con $F=dp/dt$ : http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2416765 Históricamente, Einstein hizo uso de $W=\int F dx$ en la sección 10 de su documento de 1905 sobre la RS http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/ . Esto fue antes del artículo "La inercia de un cuerpo...", en el que derivó $E=mc^2$ y le dio su interpretación relativista completa. Posteriormente, Einstein decidió que la fuerza no era un concepto muy útil en la relatividad y dejó de recurrir a ella.

Lo que nunca he visto en ninguno de estos tratamientos (ni los cuidadosos anteriores ni los chapuceros de algunos textos de física de primer año) es ningún argumento de por qué la relación no relativista $W=\int F dx$ debe esperarse a priori para que se mantenga sin modificaciones en el SR. Si uno tiene ya establecido la forma y la conservación del cuatro vector energía-momento, entonces no creo que sea particularmente difícil demostrar que $W=\int F dx$ . Pero, ¿qué justificación hay para suponer $W=\int F dx$ antes de ¿se ha establecido algo de eso? ¿Hay alguna justificación coherente para ello?

(Un problema secundario de algunos de estos tratamientos basados en $W=\int F dx$ es que necesitan establecer la constante de integración).

Answer 1

No hay ninguna razón para que la fórmula funcione obviamente, como dices, sólo porque hay al menos dos generalizaciones diferentes de la fuerza, la curvatura relativista en tiempo propio de la trayectoria ( $d^2x\over d\tau^2$ no es la noción correcta) y la derivada de la energía relativista por la velocidad con respecto al tiempo ( ${d\over dt} (m{dx\over d\tau})$ el que funciona). ¿Cuál es la generalización adecuada?

Einstein procedía de una formación termodinámica, y siempre concedió a las leyes de la termodinámica un estatus absoluto, ya que se deducían inexorablemente de postulados tan elementales. Fue la forma deductiva de la termodinámica lo que le llevó a escribir la relatividad especial en un estilo tan deductivo, construyendo a partir de axiomas simples.

Las energías potenciales, y las energías en general, tienen un significado termodinámico mayormente independiente de su significado mecánico, que no cambia con la relatividad (si se quiere pensar en esto estadísticamente, la distribución de Boltzmann sigue siendo $\exp(-\beta E)$ en cualquiera de las dos teorías). El potencial electrostático es la energía por unidad de carga en una región del espacio. La energía electrostática de una bola cargada que se mueve con velocidad v en un potencial electrostático $\phi$ no puede depender de la velocidad, porque entonces podría transferir la carga de un objeto que se mueve rápidamente a un objeto inmóvil mientras el objeto rápido pasa zumbando, y hacer una máquina de movimiento perpetuo. Así que la energía potencial de la carga sigue siendo $q\phi$ incluso en la relatividad, por razones termodinámicas.

El campo eléctrico es el gradiente del potencial estático, y esto es cierto en las ecuaciones de Maxwell, que ya son relativistas. La integral del gradiente del potencial estático a lo largo de la trayectoria, multiplicada por la carga, da entonces el trabajo realizado a lo largo de la trayectoria. Así que la noción correcta de fuerza a utilizar es cualquier cosa mecánica que sea igual a $qE$ . Es físicamente casi seguro que diferentes fuerzas, sin importar su origen, hacen el mismo trabajo si tienen la misma magnitud, por lo que se puede concluir que la fórmula del trabajo es generalmente verdadera para esta noción de fuerza, que es la noción de fuerza en la ecuación del movimiento. Para Einstein esto es tan claro que no se molesta en explicarlo.

Esta suposición parece poco natural para mucha gente hoy en día, ya que nos sentimos más cómodos con las simetrías que con la termodinámica. Pero la exposición de Einstein, sobrevive en los libros de texto hasta nuestros días.

Answer 2

Sospecho que no hay nada aquí que no esté ya en la respuesta de Ron Maimon, pero quizá he mejorado la secuencia...

Recordemos que Einstein, en ese famoso artículo de 1905 al que haces referencia, está considerando la E&M; de hecho, el título es "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento". Antes de la sección 10 considerada aquí, ha demostrado la covarianza de las ecuaciones de Maxwell.

Yo esperaría que explotara esa covarianza, modificando la dinámica newtoniana para que se "ajuste" a la E&M relativista.

En consecuencia, Einstein simplifica a un caso electrostático unidimensional, con una carga $q$ desplazándose del punto 1 al punto 2 en respuesta a un campo eléctrico $X$ . Entonces, por conservación de la energía, el aumento de la energía cinética de la carga $W$ (cuya forma funcional determina Einstein en un cálculo separado) debe ser simplemente la caída de la energía potencial eléctrica $P$ que no es más que la integral de línea de la fuerza eléctrica:

$$W = P = q \int_1^2 X dx = \int_1^2 F dx$$

Voilà.

[No puedo evitar observar que Einstein especifica que la aceleración de la carga sea pequeña, para que la carga "no emita energía en forma de radiación". (relacionado) ]

Cuando se incluyen los campos magnéticos variables en el tiempo, ya no existe una función potencial, sino que el aumento de la energía cinética es de nuevo igual a la integral de línea de la fuerza, evaluada sobre la trayectoria real de la partícula: $$W = \int_1^2 \boldsymbol{F \cdot dl}$$

La fuerza $\boldsymbol{F}$ aquí, obviamente, no es la fuerza cuádruple; es sólo la fuerza vectorial estándar de Lorentz: $$\boldsymbol{F} = \frac{d \boldsymbol{p}}{dt} =q (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v \times B} )$$

Puedes ver esta formulación en la tabla 18-1 de Feynman "Classical Physics" en el volumen 2 de The Lectures.

Bueno, de todos modos me he convencido a mí mismo. Cuando vi por primera vez esta pregunta me quedé perplejo por la "expresión horriblemente no covariante", como dijo Ron. Sigue siendo no covariante, pero ahora es obvio.  

[Observación trivial: Einstein utiliza $\beta$ para lo que ahora llamamos $\gamma$ . ¿Qué pasa con eso?]