Ayudar a entender la prueba de una infinidad de números primos de la forma $4n+3$

Question

Esta es la prueba del libro:

Teorema. Existen infinitos números primos de la forma $4n+3$.

Lema. Si $a$ $b$ son números enteros, tanto de la forma $4n + 1$, entonces el producto de a $ab$ es también en este formulario.

La prueba del Teorema: Vamos a suponer que sólo hay un número finito de números primos de la forma $4n + 3$, dicen $$p_0, p_1, p_2, \ldots, p_r.$$
Deje $$Q = 4p_1p_2p_3\cdots p_r + 3.$$
Entonces hay al menos un primer en la factorización de $Q$ de la forma $4n + 3$. De lo contrario, todos estos primos sería de la forma $4n + 1$, y por el Lema anterior, esto significaría que el $Q$ también sería de esta forma, la cual es una contradicción. Sin embargo, ninguno de los prime $p_0, p_1,\ldots, p_n$ divide $Q$. El primer $3$ no divide $Q$, para los si $3|Q$ $$3|(Q-3) = 4p_1p_2p_3\cdots p_r,$$ which is a contradiction. Likewise, none of the primes $p_j$ can divides $P$, because $p_j | Q$ implies $p_j | ( Q - 4p_1p_2\cdots p_r ) = 3$, which is absurd. Hence, there are infinitely many primes of the form $4n +3$. FINAL

Desde "sin embargo, ninguno de los prime ...." al final, estoy totalmente perdido!

Mis preguntas:

• Es el autor asumiendo $Q$ es primo o no lo es?
• Por qué ninguno de los números primos $p_0, p_1,\ldots, p_r$ brecha $Q$? Basado en lo que argumento?

¿Alguien puede compartir conmigo una mejor prueba?

Gracias.

Answer 1

Esta es una adaptación de Euclides de la clásica prueba de la infinitud de los primos. Supongamos que $p_1,...,p_t$ son todos los primos y considerar el número de $N=p_1\cdots p_t+1$. El número de $N$ debe ser divisible por algunos de los mejores (posiblemente sí, pero esto es irrelevante para el argumento), pero dado que nadie de la $p_i$ divide $N$, esto le da una contradicción.

La prueba de informes es similar en concepto, pero está adaptado para mostrar que este "extra prime" obtenidos por mirar divisores de un adecuadamente construido auxiliar de número ($Q$ en la prueba) es de la forma $4k+3$.

Creo que una ligera corrección en la prueba está en orden: es decir, tomar $p_0=3$. El técnico importante punto es que NO incluyen la $p_0=3$ en el producto la definición de $Q$. Por lo tanto, usted puede demostrar que ninguna de las $p_i$ (INCLUYENDO $p_0$) divide $Q$ y está hecho por el Lema.

Answer 2

Que parte de la prueba es simplemente una variante de Euclides del método clásico para la producción de un nuevo prime. En lugar de $\rm\ 1+ p\cdot p_1\cdots p_n\ $ emplea a $\rm\ p+ p_0\cdots p_n\:,\: $ donde $\rm\ (p,\ p_i) = 1\:.\: $ (por encima de $\rm\: p=3,\ p_0 = 4\:$)
Es fácil comprobar que este recién construido entero es coprime a todo el estado de $\rm\: p $'s, a saber:

$\rm\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (p,\ \ \: p+p_0\cdots p_n)\ =\ (p,\ p_0\cdots p_n)\ =\ 1\ \ $ través $\rm\ \ (p,\ p_i)\ =\ 1$

$\rm\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (p_i,\ p+ p_0\cdots p_n)\ =\ (p_i,\ p)\ =\ 1\ $

Esencialmente esta prueba se basa en el hecho de que $\rm\ (p\:q,\ p+q) = 1\ \iff\ (p,\ q) = 1\:.\ $ por lo tanto para producir un número de coprime a $\rm\ n\ $ podemos simplemente sumar los factores de $\rm\ p,\:q\ $ desde cualquier coprime la división de $\rm\ n = p\:q\:.\ $ Euclides clásico de la prueba utiliza el trivial de la división de donde $\rm\ q = 1\ $ (e $\rm\:p\:$ es un producto de números primos). Ribenboim créditos de esta división forma de generalización de Euclides prueba de Stieltjes (1890). Por un puñado de pruebas de dicho mcd de propiedad ver mi post aquí.