Diferenciabilidad compleja Fórmula de Taylor

Question

En nuestros apuntes de clase para un curso de pregrado sobre análisis complejo, tenemos lo siguiente:

Dejemos que $D$ sea un subconjunto abierto y no vacío de $\mathbb{C}$ .

Una función $f:D \rightarrow \mathbb{C}$ se dice que complejo diferenciable en $z_0 \in D$ si el límite

$$f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$$

existe. Observamos que $f:D \rightarrow \mathbb{C}$ es complejo diferenciable en $z_0 \in D$ con $f'(z_0) = a$ si y sólo si hay existe una función $g:D \rightarrow \mathbb{C}$ tal que

$$f(z) = f(z_0) + a(z-z_0) + |z-z_0|g(z)$$

y $\lim_{z \rightarrow z_0}g(z) = 0.$

No entiendo cómo sigue la parte que sigue a "Observamos que". ¿Alguien puede dar una idea? ¿Me he perdido algo fácil?

Answer 1

La derivada existe si $$a = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},$$ o $$0 = \lim_{z \to z_0} \left( \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-a \right),$$ o $$0 = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)-a(z-z_0)}{z-z_0},$$ lo que equivale a $$0 = \lim_{z \to z_0} \left| \frac{f(z)-f(z_0)-a(z-z_0)}{z-z_0} \right|$$ o $$0 = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)-a(z-z_0)}{\lvert z-z_0 \rvert} \tag{1}$$ (donde van las funciones de valor absoluto no importa para los límites complejos que son cero). Si definimos $$g(z) = \frac{f(z)-f(z_0)-a(z-z_0)}{\lvert z-z_0 \rvert} \quad (z \neq z_0),$$ vemos que $(1)$ equivale a pedir que $\lim_{z \to z_0} g(z) = 0$ .

Se trata de la noción de que la derivada proporciona la mejor aproximación lineal a la función en un punto. Esta forma es útil para demostrar propiedades de las derivadas que parecen requerir la división por cero (la regla de la cadena es un buen ejemplo).