¿Cuál es el límite de probabilidad y la distribución límite de los estimadores dado que $X_i$ son iid

Question

Esto es más bien una pregunta práctica pero no estoy seguro de cómo proceder realmente.

Digamos que $E(X)=0$ y $Var(X)=\sigma^2$ .

En primer lugar tengo que encontrar el límite de probabilidad del estimador como $n$ ir al infinito.

Intenté dividirlo en

Conozco la media de $X_i$ converge en probabilidad a $\mu$ según Khinchine pero no estoy seguro de qué hacer la media de $X_{i+1}$ .

En segundo lugar, la distribución límite

Estaba pensando en cuadrar el término para conseguir $1/n$ pero entonces no estoy seguro de cómo proceder con una suma al cuadrado.

Answer 1

Para la primera parte, observe que $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_{i+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n}\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1} Y_i$$ donde $Y_i=X_{i+1},\ i\ge 1$ . Así que $Y_i$ son i.i.d y por lo tanto de nuevo por WLLN (ley de Khinchin) convergerá a $\mu$ en la probabilidad.

Ahora, para la segunda parte, utilice Teorema del límite central para conseguir $$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{X_i}X_i\overset{d}{\to} X\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$$ Lo mismo ocurre con $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_{i+1}$