¿Toda función entera es una suma de una función entera acotada en cada franja horizontal y una función entera acotada en cada franja vertical?

Question

¿Es cierto que toda función entera es una suma de una función entera acotada en toda franja horizontal (la franja horizontal es un conjunto de la forma $H_y:=\{x+iy : x \in \mathbb R \}$ ) y una función entera acotada en cada franja vertical (la franja vertical es un conjunto de la forma $V_x:=\{x+iy:y\in \mathbb R \}$ ) ? De todos modos, no veo la forma de decidirlo rigurosamente.

NOTA : Por función entera , me refiero a cualquier función holomorfa $f: \mathbb C \to \mathbb C$

Answer 1

La existencia de una descomposición puede demostrarse utilizando Teorema de aproximación de Arakelian . Consideremos las dos regiones en el plano complejo \begin{align} S_1 &=\left\{z\in\mathbb C\colon \lvert\Re(z)\rvert\ge\lvert\Im(z)\rvert+1\right\}.\\ S_2 &=\left\{z\in\mathbb C\colon \lvert\Im(z)\rvert\ge\lvert\Re(z)\rvert+1\right\}. \end{align} Son conjuntos cerrados disjuntos con $S_1$ que contiene cada franja horizontal hasta un conjunto acotado y $S_2$ que contiene cada franja vertical hasta un conjunto acotado.

Su unión $S=S_1\cup S_2$ es un Arakelian conjunto. Es decir, es un subconjunto cerrado de $\mathbb{C}$ cuyo complemento no contiene ninguna componente conexa acotada y tal que, para cada disco cerrado $D$ la unión de las componentes acotadas de $\mathbb{C}\setminus(S\cup D)$ está acotado (es vacío, por lo que está trivialmente acotado).

Para una función completa $f$ , defina $G\colon S\to\mathbb C$ por $G(z)=f(z)$ en $S_2$ y $G(z)=0$ en $S_1$ . Entonces, Teorema de aproximación de Arakelian establece que, para cualquier $\epsilon > 0$ hay una función completa $g$ con $\lvert g-G\rvert\le\epsilon$ en $S$ . Configurar $h=f-g$ descompone $f=g+h$ con $g$ limitado a $S_1$ y, por tanto, en franjas horizontales, y $h$ limitado a $S_2$ y, por tanto, en franjas verticales.