¿Por qué es malo el anillo de operadores diferenciales de Grothendieck cuando $X$ ¿es singular?

Question

$\DeclareMathOperator\Diff{Diff}$ Supongamos, para simplificar, que $X$ es afín, entonces es posible definir $\Diff(X)$ - el anillo de operadores diferenciales de Grothendieck. Cuando $X$ es suave, entonces

Definición. la categoría de $D$ -módulos en $X$ se define como módulos sobre $\Diff(X)$ . (Categoría 1 )

Sin embargo, cuando $X$ es singular, esta no es la categoría correcta a considerar. Se suele seguir el enfoque de Kashiwara:

Definición. elegir una incrustación cerrada $X\hookrightarrow V$ y definir $D$ -módulos sean a módulos sobre $\Diff(V)$ que se apoyan (teóricamente) en los conjuntos $X$ . (Categoría 2 )

La razón habitual que he oído de por qué considerar la segunda categoría es que $\Diff(X)$ se comporta mal cuando $X$ es singular, y específicamente la gente señalará que $\Diff(X)$ no es noetheriano. (Noetheriano = izquierda + derecha.) Por ejemplo, este es el caso cuando $X$ es el "cono cúbico" [BGG72].

Sin embargo, ya no me satisface esta respuesta por lo siguiente:

(1), cuando $X$ es una curva, entonces $\Diff(X)$ es noetheriano. [SS88]
(2), cuando $X=V/G$ una singularidad cotizada entonces $\Diff(X)$ es noetheriano.

Pero en estos casos, se sigue considerando la categoría 2 para estos $X$ . Así que tiene que ser el caso que, en general y en estos casos, $\Diff(X)$ es malo no sólo porque no es noetheriano, también es malo por otras razones. Así que mi pregunta es:

Pregunta: Por qué trabajamos en la categoría 2 en las situaciones anteriores. O una pregunta mejor, ¿qué es mala sobre $\Diff(X)$ además de no ser noetheriano.

Tenga en cuenta que mi pregunta no es cómo trabajar en la categoría 2 pero por qué falla mucho si trabajamos en categoría 1 en las situaciones (1) y (2).

Cabe destacar que:

en (1), si la curva es cuspidal entonces la categoría 1 $\cong$ categoría 2 . [SS88] generalizado en [BZN04]
en (2), si el $X=\mathbb{C}^2/(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ entonces la categoría 1 $\cong$ categoría 2 (Creo que esto es cierto, pero por favor corrígeme si me equivoco).

[BGG72] I. N. Bernste n, I. M. Gel'fand y S. I. Gel'fand. Differential operators on a cubic cone. Uspehi Mat. Nauk, 27(1(163)):185-190, 1972.

[BZN04] David Ben-Zvi y Thomas Nevins. Cusps and D-modules. Journal of the American Mathematical Society, 17.1:155-179, 2004

[SS88] S. P. Smith y J. T. Stafford. Differential operators on an affine curve. Proc. London Math. Soc. (3), 56(2):229-259, 1988.

Anotado más tarde: en realidad no es cierto que en $X=\mathbb{C}^2/(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ entonces la categoría 1 $\cong$ categoría 2 , perdón por la confusión.

Answer 1

Probablemente puede haber muchas respuestas a esta pregunta, pero aquí hay una:

Queremos que la categoría de $D$ -se comporten como categorías de gavillas en otras teorías de gavillas. En el entorno complejo, queremos la correspondencia Riemann-Hilbert, una equivalencia de categorías entre gavillas construibles en la topología analítica y holonómica regular $D$ -y sobre un campo base arbitrario, queremos que tengan un comportamiento similar. ¿Por qué queremos esto? Se espera que todas estas teorías de gavillas sean varias sombras de la categoría de motivos, y probablemente los motivos son lo realmente interesante que queremos estudiar, así que queremos que nuestras teorías sean lo suficientemente similares como para capturar los motivos.

En cualquier caso, para las categorías de las láminas construibles (algebraicas/analíticas), existe una equivalencia de categorías entre láminas sobre $X$ y gavillas en $V$ apoyado en $X$ .

Así que si queremos la categoría de $D$ -para tener un comportamiento similar, debemos utilizar la categoría 2.

Es posible que podamos utilizar alguna otra definición y demostrar la equivalencia con una subcategoría completa de $D$ -módulos en $V$ apoyado en $X$ . Pero como sabemos que esto es lo que queremos, podemos considerarlo cierto por definición.

Por lo tanto, lo malo de la categoría 1 es simplemente que no es 2. Podemos utilizar absolutamente la definición 1 en los casos especiales en los que coincide con la 2, pero hacerlo podría dejarnos menos preparados para el caso general.