$\mathbb{Q}(\zeta_p)$ contiene sólo un subcampo $L$ tal que $[L : \mathbb{Q}]=3$

Question

Supongamos que $p$ es un número primo, $p\equiv1$ mod $3$ y $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ es el $p$ -a extensión ciclotómica.

Demostrar que $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ contiene sólo un subcampo $L$ tal que $[L : \mathbb{Q}]=3$

$[L : \mathbb{Q}]=3 \implies L=\mathbb{Q}^H$ para algún subgrupo $H$ de $G=Gal(L/\mathbb{Q})$ de orden $3$ . El único grupo de Galois posible con este orden es $A_3$ por lo que sólo correspondería a un subcampo $L$ según sea necesario. ¿Es esto correcto?

Demuestra que para cualquier número racional $A$ , $L$ no es isomorfo a $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{A})$

No estoy seguro de esto. Creo que tendría que encontrar el grupo de Galois correspondiente para $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{A})$ y demostrar que esto no sería isomorfo a $A_3$ (el grupo alternativo).

$X^3-A=0$

Answer 1

El grupo de Galois $Gal(\Bbb{Q}(\zeta_p))$ es isomorfo a $(\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})^*,\times)$ esto también es isomorfo a $(\Bbb{Z}/(p-1)\Bbb{Z}),+)$ y este último grupo es cíclico de grado $(p-1)$ por lo que para cada divisor $m$ de $(p-1)$ , sólo hay un sub grupo de $(\Bbb{Z}/(p-1)\Bbb{Z}),+)$ de orden $m$ . Las hipótesis que $3$ dividir $p-1$ sólo dan un subgrupo de los cíclicos $Gal(\Bbb{Q}(\zeta_p))$ de orden $\frac {p-1}{3}$ por lo que el subcampo fijo es único y de grado 3 sobre $\Bbb{Q}$ .

Si el grado de $(\Bbb{Q}(^3\sqrt{A})/\Bbb{Q})$ es 3 thene esto no es Galoisienne, tan deferente a $L$ , en este caso el campo de división de $X^3-A$ es isomorfo a $S_3$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}) \cong \left(\mathbb{Z}_p\right)^* \cong \mathbb{Z}_{p-1}$ para cualquier número primo $p$ .

Así que nuestro grupo de Galois es cíclico de orden $p-1$ . Desde $p \equiv 1$ mod 3, $3 | (p-1)$ . Es decir $\exists k \in \mathbb{N}$ tal que $3k = p-1$ . O dicho de otro modo, $\frac{p-1}{3} = k \in \mathbb{N}$ . Dado que los grupos cíclicos tienen exactamente un subgrupo por cada número que divide su orden, el grupo galois tiene exactamente un subgrupo de orden $\frac{p-1}{3}$ Llámalo $N$ . Sea $L$ sea el campo fijo de $N$ . Utilizando los hechos básicos enumerados en la correspondencia de Galois, $[L:\mathbb{Q}] = 3$ .

Ahora, como nuestro grupo de Galois es cíclico, todos los subgrupos son normales. Así que $N$ es un subgrupo normal del grupo de Galois. De nuevo, utilizando los datos de la correspondencia de Galois, esto nos dice que $L$ es una extensión normal de $\mathbb{Q}$ . Es decir, cualquier polinomio irreducible $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ que tiene una raíz en $L$ , se divide en $L$ .

Ahora, como Jack mencionó en los comentarios, si $A \in \mathbb{Q}$ entonces $x^3-A$ no se divide sobre $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{A})$ . Sin embargo, si $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{A})$ eran iguales a $L$ entonces $x^3-A$ tendrían que dividirlo, ya que $\sqrt[3]{A} \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{A})$ y $\sqrt[3]{A}$ es una raíz de $x^3-A$ . Así que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{A}) \neq L$ .