Topología del punto excluido.

Question

Fijar un conjunto $X$ con al menos 2 elementos y $p\in X$ . Sea $\mathcal{T}_p = \{ U \subset X \mid p \notin U \} \cup \{ X \}$ .

1. Demuestra que $\mathcal{T}_p$ es una topología y denotamos este espacio topológico por $X$ .

2. Es $X$ ¿conectados?

3. Es $X$ ¿Hausdorff?

4. Dejemos que $(x_n)$ sea la secuencia con $x_n = a$ para todos $n$ para algunos $a \in X$ . ¿Para qué valores de $a$ hace $(x_n)$ ¿converger? Si $(x_n)$ converge, ¿hacia dónde converge?

Mi trabajo.

1. $X, \emptyset \in \mathcal{T}_p$ .

   Supongamos que $U_1 \subset X$ y $U_2 \subset X$ y $p \notin U_1$ y $p \notin U_2$ entonces $p \notin U_1 \cup U_2 \subset X$ así que $U_1 \cup U_2 \in \mathcal{T}_p$ Por lo tanto, las uniones de elementos de $\mathcal{T}_p$ están en $\mathcal{T}_p$ .

   Supongamos que $U_1 \subset X$ y $U_2 \subset X$ y $p \notin U_1$ y $p \notin U_2$ entonces $p \notin U_1 \cap U_2 \subset X$ así que $U_1 \cap U_2 \in \mathcal{T}_p$ Por lo tanto, las intersecciones de los elementos de $\mathcal{T}_p$ están en $\mathcal{T}_p$ .

2. $X$ está conectado ya que el único conjunto en $\mathcal{T}_p$ que contiene $p$ es todo el conjunto $X$ y, por tanto, no puede existir una separación.

3. $X$ no es Hausdorff ya que está conectada

Creo que (1) y (2) son correctas, creo que (3) es incorrecta y no sé qué hacer con (4).

Answer 1

1. Esto es casi correcto, pero para la parte de la unión escríbala para uniones arbitrarias, no sólo para las finitas. Haz explícito por qué $\emptyset \in \mathcal{T}_p$ .

2. La razón es esencialmente correcta, hacer la redacción más formal: suponga $X = A \cup B$ es una separación de $X$ . Uno de los conjuntos contiene $p$ etc...

3. Esto tiene un argumento falso: los reales son conectados y muy Hausdorff. Piensa en la misma razón por la que $X$ está conectada (las vecindades de $p$ ) y utilizar ese $X$ tiene otro elemento además de $p$ ...

4. Basta con utilizar la definición de convergencia. Y considerar para los límites todo $x \neq p$ y $p$ por separado. ¿Qué es un barrio abierto típico de $x \neq p$ y $p$ ? ¿La secuencia se mantiene dentro del barrio o no?

Answer 2

Una vecindad abierta de un punto $x\neq p\in X$ es $X$ o cualquier subconjunto de $X$ que contiene $x$ pero no $p$ . En particular $\{x\}$ es una vecindad abierta de $x$ por lo tanto, dos puntos distintos $x,y\neq p$ tienen vecindades disjuntas y $X$ sería Hausdorff, excepto que la única vecindad de $p$ es $X$ para que el T ₂ El axioma (espacio de Hausdorff) no es cierto para $x$ y $p$ .

Sin embargo, $\mathscr T_p$ satisface el axioma T ₀ (espacio de Kolmogorov): para cualquier punto $x\neq y$ existe una vecindad de uno de ellos que no contiene al otro.