El punto de partida de su problema es un problema de votación con cuatro accionistas, donde formalizamos el conjunto de accionistas por $N=\{1,2,3,4\}$ . Sin embargo, antes de poder calcular el valor de Shapley, tenemos que representar el problema de la votación en un juego cooperativo.
Los cuatro accionistas poseen una cuota de $10,20,30$ y $40$ por ciento del capital social de una empresa, respectivamente. Para aprobar una decisión en el consejo de administración de esta empresa $51$ son necesarios. Así, el problema de la votación puede representarse en forma de juego de mayoría ponderada.
Para ello, denotamos el número total de acciones como $w(N) \in \mathbb{N}$ . Para aprobar una decisión al menos $0 < qt \le w(N)$ se necesitan acciones. Un juego simple se denomina juego de mayoría ponderada, si existe una cuota $ qt > 0$ y pesos $w_{k} \ge 0$ para todos $k \in N$ tal que para todo $S \subseteq N$ tiene $v(S) = 1$ si $w(S) \ge qt$ o $v(S) = 0$ de lo contrario. Tal juego se representa genéricamente como $[qt; w_{1}, \ldots, w_{n}]$ . El vector de pesos está en el juego de ejemplo $w =\{10,20,40,40 \} $ y la cuota para aprobar una decisión se fija en $51$ acciones. Por lo tanto, los accionistas tienen que formar coaliciones para aprobar una decisión.
Si calculamos el juego simple, obtenemos los siguientes valores característicos para cada coalición:
$v(S) = 1$ si $S \in \{\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\},N \}$ , de lo contrario $v(S)=0$ .
Para obtener el valor de Shapley aplicamos su fórmula sobre el juego anterior, de forma que obtenemos el siguiente índice de poder de voto con respecto al valor de Shapley:
$$shv=\{1,3,3,5\}/12.$$
