¿Existe una transformación lineal del siguiente tipo?

Question

Supongamos que $v_1,v_2,\cdots,v_5$ sean cinco vectores cualesquiera de $\mathbb R^{10}$ y $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_5$ son cinco elementos cualesquiera de $\mathbb R$ . ¿Existe siempre una transformación lineal $T$ de $\mathbb R^{10}$ a $\mathbb R$ tal que $v_i \mapsto \alpha_i$ para $1 \leq i \leq 5$ . Si la respuesta es "no", entonces mi pregunta es para qué casos es posible y para qué casos no.

En realidad esta pregunta ha sido formulada en la entrevista del NBHM (National Board for Higher Mathematics) hoy y no he podido responderla correctamente. Por favor, ayúdenme a especificar cómo debo proceder.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si los vectores son linealmente independientes, se pueden elegir los valores de forma arbitraria.

Si los vectores son linealmente dependientes, entonces se pueden elegir sólo los valores que satisfagan todas las relaciones lineales satisfechas por los vectores. Se puede encontrar un conjunto mínimo de relaciones utilizando la reducción de filas.

En la práctica, escriba las coordenadas de los vectores como filas en una matriz $A$ y los valores de un vector de columnas $b$ . Entonces existe una transformación lineal que lleva los vectores a los valores si $A$ y la matriz aumentada $[A|b]$ tienen el mismo rango. Esto funciona porque cada transformación lineal $\mathbb R^{n} \to \mathbb R$ viene dada por $(x_1,\dots,x_n) \mapsto w_1 x_1 + \cdots + w_n x_n$ . El criterio de rango es el criterio de solvencia de $Aw=b$ .

Answer 2

Toma el $5$ escalares para ser raíces cuadradas de $2,3,5,7,$ y $11$ . Que los 5 vectores (después de fijar algún vector no nulo $v$ ) sea $v, 2v,\frac{197}{41}v,-7v, \frac{\pi^8}9 v$ . Ahora piense cuál puede ser la respuesta.