¿Existen modelos de Néron sobre esquemas de base de mayor dimensión?

Question

¿Existen modelos de Néron para las variedades abelianas sobre las dimensiones superiores ( $> 1$ ) esquemas de base $S$ Digamos que $S$ suave, separada y de tipo finito sobre un campo?

Si no es así, ¿en qué condiciones adicionales?

Answer 1

Esto no es una respuesta al OP, sino al comentario de Pete sobre el esquema de base singular $S$ . He aquí un ejemplo que explica por qué hay que asumir la regularidad incluso en la dimensión $1$ .

Dejemos que $T$ sea una curva suave sobre un campo $k$ e identificar dos puntos racionales $t_1\ne t_2$ en $T$ . Obtenemos un morfismo biracional finito $T\to S$ de curvas integrales sobre $k$ . Sea $E\to T$ sea una curva elíptica con fibras no isomorfas en $t_1, t_2$ . Sea $\eta$ sea el punto genérico común de $T$ y $S$ . Entonces afirmo que $E_\eta$ no tiene un modelo Néron sobre $S$ .

Supongamos que tenemos un modelo Néron $E'$ en $S$ . Como $E$ es el modelo Néron de $E_\eta$ en $T$ obtenemos un morfismo biracional f: $E'\times_S T\to E$ que es un isomorfismo que se aleja de $\{ t_1, t_2\}$ . Denote por $E_i$ la fibra de $E$ en $t_i$ . Tenemos un morfismo $f_i : E'_{s}\to E_i$ donde $s$ es la imagen de $t_i$ en $S$ .

• No podemos tener $f_1, f_2$ ambos cuasi-finitos, porque si no $f$ sería cuasi-finita, por lo tanto una inmersión abierta (Teorema principal de Zariski), por lo que $f_1, f_2$ serían inmersiones abiertas y $E_1$ sería biracional, y por tanto isomorfo a $E_2$ .

• Supongamos que $f_1$ no es cuasi-finito, entonces es constante. Ahora tomemos dos puntos racionales de $E_\eta$ que se especializan en dos puntos racionales distintos $a, b$ en $E_1$ . Por propiedad de Néron, también tienen especializaciones en $E_s$ . Pero estos últimos son mapeados por $f_1$ respectivamente a $a$ y $b$ . Contradicción.

Una idea para construir un ejemplo en base lisa de dimensión superior: dejemos $S$ sea el plano afín que contiene una curva nodal que pasa por el origen $o$ . Blow-up $o$ para conseguir una superficie lisa $T$ y considerar una curva elíptica $E$ en $T$ con fibras no isomórficas en $t_1, t_2$ (puntos de intersección del divisor excepcional con la transformada estricta de la curva nodal). Si cualquier esquema abeliano es el modelo de Néron de su fibra genérica (lo que parece razonable si el modelo de Néron existe sobre esquemas de base regular), entonces de forma similar a lo anterior podríamos demostrar que la fibra genérica de $E$ no tiene un modelo Néron sobre $S$ .

Answer 2

Esto es realmente un comentario en respuesta a las preguntas de JBorger y Qing Liu sobre la existencia de modelos Néron después de volar o alterar la base, pero es demasiado largo para la caja de comentarios.

En general, los modelos de Néron no existen sobre bases de dimensión superior a 1, incluso permitiendo alteraciones de la base. Esta inexistencia parece bastante robusta - no ayuda si permite modelos de Néron lft, o permite que su modelo de Néron sea un espacio algebraico, o

El ejemplo más sencillo es probablemente tomar $S = \operatorname{Spec} \mathbb{C}[[u,v]]$ (completo, regular, local,...), y dejar que $C/S$ sea la curva nodal en el espacio proyectivo ponderado $\mathbb{P}(1,1,2)$ en $S$ dada por la ecuación afín $$y^2 = (x-1)(x-1-u)(x+1)(x+1+v).$$ Si dejas que $J$ sea el jacobiano de la fibra genérica de $C/S$ entonces $J$ no admite un modelo de Néron sobre $S$ o incluso por encima de $S’$ donde $S’ \rightarrow S$ es propiamente suryectiva (por ejemplo, una alteración). No conozco una prueba muy corta de este último hecho; se puede encontrar en http://arxiv.org/abs/1402.0647

De forma más general, dada una curva nodal sobre una base regular separada, el jacobiano no suele admitir un modelo de Néron. Hay dos casos en los que claramente existe un modelo de Néron: si la curva es de tipo compacto, o si surge como pullback a lo largo de un morfismo suave de una curva sobre una DVR. Resulta que estas dos situaciones, junto con las "combinaciones de las dos", son en cierto sentido las únicas situaciones en las que existen modelos de Néron. Además, la alteración de la base no suele influir en la existencia de un modelo de Néron. Se pueden encontrar afirmaciones más precisas en la referencia anterior.

Answer 3

Tomemos una familia de curvas elípticas sobre el plano perforado cuya $j$ -invariante en $(x,y)$ es $y/x$ .

Tal vez debería preguntar si existe una ampliación de $S$ en el que existe un modelo.

Answer 4

Ver mi preimpresión http://arxiv.org/abs/1410.5293 Teorema 3.2 de la página 7 y siguientes:

Dejemos que $S$ sea un esquema regular, noetheriano, integral y separado, y $g: \{\eta\} \hookrightarrow S$ la inclusión del punto genérico. Sea $\mathcal{A}/S$ sea un esquema abeliano. Entonces $$ \mathcal{A} = g_*g^*\mathcal{A} $$ como gavillas en $S_{\mathrm{sm}}$ . (Esta es la "propiedad de mapeo de Néron" para $\mathcal{A}/S$ .)