Distancia entre dos puntos en coordenadas esféricas

Question

Quiero encontrar la distancia entre dos puntos en coordenadas esféricas, por lo que quiero expresar $||x-x'||$ donde $x=(r,\theta, \phi)$ y $x' = (r', \theta',\phi')$ por los respectivos componentes. ¿Es esto posible? Solo sé que es $\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos(\theta- \theta')}$ si $\phi,\phi'$ son iguales, pero ¿cuál es la distancia más general?

Answer 1

La expresión de la distancia entre dos vectores en coordenadas esféricas proporcionada en la otra respuesta suele expresarse de forma más compacta, que no solo es más fácil de recordar, sino que también es ideal para capitalizar ciertas simetrías al resolver problemas.

$$\begin{align} \|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime\| &=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}\\ &=\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\left[\color{red}{\sin(\theta)\sin(\theta')}\color{blue}{\cos(\phi)\cos(\phi')}+\color{red}{\sin(\theta)\sin(\theta')}\color{blue}{\sin(\phi)\sin(\phi')}+\cos(\theta)\cos(\theta')\right]}\\ &=\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\left[\color{red}{\sin(\theta)\sin(\theta')}\color{blue}{\left(\cos(\phi)\cos(\phi')+\sin(\phi)\sin(\phi')\right)}+\cos(\theta)\cos(\theta')\right]}\\ &=\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\left[\color{red}{\sin(\theta)\sin(\theta')}\color{blue}{\cos(\phi-\phi')}+\cos(\theta)\cos(\theta')\right]}.\\ \end{align}$$

Esta forma hace bastante transparente cómo la simetría azimutal te permite eliminar automáticamente algunas de las dependencias angulares en ciertos problemas de integración. Otra ventaja de esta forma es que ahora tienes al menos dos variables, $\phi$ y $\phi'$, que aparecen en la ecuación solo una vez, lo que puede hacer que encontrar expansiones en serie con respecto a estas variables sea un poco menos molesto que las demás.

Answer 2

Solo tienes que escribirlo en coordenadas cartesianas y cambiar las variables: $x=r\sin(\theta)\cos(\phi)$, $y=r\sin(\theta)\sin(\phi)$, $z=r\cos(\theta)$ $$\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}=$$ $$=\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\left[\sin(\theta)\sin(\theta')\cos(\phi)\cos(\phi')+\sin(\theta)\sin(\theta')\sin(\phi)\sin(\phi')+\cos(\theta)\cos(\theta')\right]}$$ Pero no veo una manera de realmente mejorar este lío.

Answer 3

Basándome en la respuesta de @[David H], escribí la distancia de una manera que resalta la diferencia en ángulos: $$||\vec r_1 - \vec r_2|| = \sqrt{ {r_1}^2 + {r_2}^2 - 2\, r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) - 2\, r_1 r_2 \sin \theta_1 \sin \theta_2 \left( \cos(\phi_1 - \phi_2) - 1 \right) }$$ Resalta las contribuciones de la diferencia en el ángulo polar $\theta$ y la diferencia en el ángulo azimutal $\phi$, (tercer y cuarto términos, respectivamente, bajo el símbolo de la raíz cuadrada). Observa el escalado intuitivo de la contribución azimutal por $\sin \theta_1 \sin \theta_2$. Por supuesto, cuando las diferencias angulares son ambas $0$, la distancia se reduce a $||r_1-r_2||$.